Si $|X|=|Y|=|X-Y|=\kappa$, podemos encontrar un bijection en $X$ que corrige $Y$ sólo?

Question

en una pregunta anterior, cometí un error y trató de restar un número cardinal de otro. De todos modos, esto me puso a pensar, supongamos que tengo dos conjuntos de $X$$Y$,$Y\subseteq X$. Supongamos también que $|X|=|Y|=|X-Y|=\kappa$ para un número cardinal $\kappa$. ¿Existe algún bijection $f\colon X\to X$ tal que $Y$ consiste de todos los puntos fijos de $f$?

Pensé que el más fácil de ejemplo viene de trabajar con conjuntos contables. Si $X=\mathbb{Z}$ $Y$ es el conjunto de números enteros, entonces podríamos tomar $f$ $$ f(x)=\begin{cases} x, &\text{if }x\text{ is even} \\ x+2, &\text{if }x\text{ is odd} \\ \end{casos} $$

Por supuesto, podríamos hacer lo mismo con el conjunto de probabilidades. Yo no era capaz de pensar en más ejemplos.

Pero tengo curiosidad, ¿es posible hacer esto en el sentido más general, para cualquier conjuntos donde $|X|=|Y|=|X-Y|=\kappa$, e $Y\subseteq X$? Es decir, podemos demostrar que existe un bijection en $X$ tal que $Y=\{x\in X\ |\ f(x)=x\}$? Después de pensar en ello, supongo que es suficiente para encontrar un trastorno $g$ (espero que el uso de ese término correctamente, sólo he visto que se usa en la combinatoria de conjuntos finitos) en $X-Y$, y luego nos podría dejar el $f=g\cup id|_Y$. Gracias!

Answer 1

Como nota, la pregunta equivale a preguntar si usted puede encontrar una alteración de cualquier conjunto infinito. Así que vamos a $Z$ ser un conjunto infinito.

Suponiendo que el Axioma de Elección, la respuesta es "sí". Hay un bijection entre el $Z$ $Z\times\omega$ donde $\omega$ es el primer ordinal infinito (desde $\kappa\aleph_0 = \max\{\kappa,\aleph_0\}=\kappa$). Deje $g\colon Z\to Z\times\omega$ ser un bijection. Ahora vamos a $f$ ser una alteración de $\omega$ (por ejemplo, mapa de $2n$$2n+1$, e $2n+1$ $2n$por cada positivo $n$). Definir $h\colon Z\to Z$ $h= g^{-1}\circ(\mathrm{id}\times f)\circ g$ donde $\mathrm{id}\times f\colon Z\times\omega \to Z\times\omega$ está dado por $(\mathrm{id}\times f)(z,k) = (z,f(k))$.

Ya que ningún elemento de $Z\times \omega$ es fijo por $\mathrm{id}\times f$, e $g$ es un bijection, ningún elemento de $Z$ es fijo por $h$.

Descargo de responsabilidad: no sé exactamente cuánto de CA que se necesita aquí; sólo es necesario encontrar un bijection entre infinitas $X$$X\times\omega$, que puede o no requerir de menos de CA; estoy seguro de que uno de nuestros residentes conjunto de los teóricos conjunto mí directamente sobre esto en algún momento.

Por tanto, y dado $X$ $Y$ tal como la describe, la construcción de un trastorno $h$ $X-Y$ y tome $h\cup\mathrm{id}_Y$, como lo sugieren.

Answer 2

Por supuesto, como Arturo señala, el axioma de elección es suficiente para mostrar lo que usted está pidiendo. Un poco más simple manera de hacerlo es mostrar lo siguiente: Vamos a $Z$ ser un conjunto infinito. Entonces, por el axioma de elección que tenemos $|Z\times 2|=|Z|$ toman una función $g$ tal que $g(a,0)=(a,1)$ $g(a,1)=(a,0)$ por cada $a\in Z$. A continuación,$id\cap g=\varnothing$. Componer un bijection $f:Z\to Z\times2$ $g$ y, a continuación, con $f^{-1}$ usted consigue lo que usted desea.

Por otro lado he construido un modelo en el que los contables axioma de elección es cierto (también el axioma de dependiente de elección es la verdad), mientras que existe un subconjunto de los números reales para los que no la función que está buscando existe. La construcción se realiza ya sea a través de forzar o el uso de los átomos. Usted puede encontrar acerca de los modelos genéricos y simétrica modelos en Jech de la "Teoría de conjuntos" o Jech "El Axioma de Elección".

La idea básica es agregar regular muchos Cohen reales ($\aleph_1$ por ejemplo) a través de la noción de obligar (o $\aleph_1$ átomos). A continuación, tome un filtro normal en el grupo de las permutaciones de $\aleph_1$ (o de los átomos) que es generado por el contable de subconjuntos de a $\aleph_1$ ( es decir, generados por $\{\pi\in\mathcal{G} : \pi_{\upharpoonright E}=id\}$ $E\subset\aleph_1$ $|E|\leq\aleph_0$ $\mathcal{G}$ las permutaciones de $\aleph_1$).

A continuación, funciones contables dominio permanece en el interior de la simétrica submodel y por lo tanto contables elección y cargo de elección será satisfecho por el modelo de simetría. Pero una permutación de todos los Cohen reales de los que no es, finalmente, la constante será imposible que existen en el interior de la simétrica submodel haciendo lo que usted está pidiendo un imposible y, a fortiori, haciendo de $|Z|+|Z|=|Z|$ fallar dentro del modelo.

Edit: Como Asaf señala en los comentarios de este fácilmente se generaliza (para cada cardenal $\kappa$) para hacer $AC_\kappa$ mantener en el modelo de simetría, mientras que existe un contraejemplo a lo que usted está buscando.