Que grupo es isomorfo a?

Question

Si tengo un grupo abelian $G$ orden $p^n$, ¿cómo puedo decidir si es isomorfo a $\Bbb{Z}_p \times \Bbb{Z}_p \times\ldots \times \Bbb{Z}_p$ ($n$ veces) o a $\Bbb{Z}_{p^2} \times \Bbb{Z}_p \times\ldots \times \Bbb{Z}_p$ ($n-1 $veces), etc.

Por ejemplo, decir que si mi grupo es de orden 8, ¿cómo puedo decidir si es isomorfo a $\Bbb{Z}_8$ o a $\Bbb{Z}_2\times \Bbb{Z}_4$ o a $\Bbb{Z}_2\times \Bbb{Z}_2\times \Bbb{Z}_2$?

¿Tengo que analizar el grupo, el orden de sus elementos y, a continuación, decidir o ¿existe un teorema o el criterio para decidir al instante?

Answer 1

La forma más habitual sería mirar el orden de los elementos en su grupo. Usando tu ejemplo donde $|G| = 8$, supongamos que usted encuentra que $G$ contiene un elemento de orden $8$. A continuación, $G$ debe $\newcommand{\Ints}{\mathbb{Z}} \Ints_8$ porque ni $\Ints_4 \times \Ints_2$ $\Ints_2 \times \Ints_2 \times \Ints_2$ tiene un elemento de orden $8$.

De lo contrario, si no hay ningún elemento de orden $8$, pero sí encontrar un elemento de orden $4$, $G$ $\Ints_4 \times \Ints_2$ porque $\Ints_2 \times \Ints_2 \times \Ints_2$ no tiene ningún elemento de orden $4$.