La Teoría de los números - Prueba de divisibilidad por $3$

Question

Probar que para todo entero positivo $x$ de exactamente cuatro dígitos, si la suma de los dígitos es divisible por $3$, $x$ sí es divisible por 3 (es decir, considerar la posibilidad de $x = 6132$, la suma de los dígitos de $x$$6+1+3+2 = 12$, el cual es divisible por 3, por lo $x$ es también divisible por $3$.)

¿Cómo podía acercarse a esta prueba? No estoy seguro de dónde iba a comenzar.

Answer 1

En realidad, esto es cierto para un número integral con cualquier dígitos. La prueba es muy fácil. Vamos a denotar la integral de número de $\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_1}$. Si la suma de sus dígitos $\sum_{i=1}^n{a_i}$ es divisible por 3, entonces $\sum_{i=1}^n{(1+\overline{9...9}_{i-1})*a_i}$ es demasiado. Aquí $\overline{9...9}_{i-1}$ denota el número entero con $i-1$ 9. Pero esta segunda suma es más que el original de número de $\overline{a_n a_{n-1} \ldots a_1}$ ampliado.

Answer 2

Es debido a radix representación polinomial de la forma en la base, por ejemplo, $\rm\ n = 4321 = p(10)\ $ $\rm\ p(x) = 4\: x^3 + 3\: x^2 + 2\: x + 1\:.\:$ mod $\rm\:3\::\ 10\equiv 1\ \Rightarrow\ p(10)\equiv p(1)\ =\ \sigma(n) :=$ suma de dígitos. Aternatively uno puede simplemente poner $\rm\ x = 10\ $ $\:$ Factor Teorema $\rm\ \ x-1\ |\ p(x)-p(1)\:,\: $ por lo tanto $\rm\ 3\ |\ 9\ |\ p(10)-p(1) = n - \sigma(n)\:.\:$ Este es un caso especial de echar fuera nueves.

Answer 3

Supongamos que usted tiene un número cuyos dígitos decimales se representan $a$, $b$, $c$, y $d$, lo $x=abcd$.

En base a $10$, esto significa $$ x=abcd=a\cdot 10^3+b\cdot 10^2+c\cdot 10^1+d\cdot 10^0. $$ Intente buscar en $x$ modulo $3$, y recuerda que $10\equiv 1\pmod{3}$.

Este concepto se puede ampliar fácilmente para un entero $x$ de cualquier cantidad de dígitos.