Es una base para la Mentira álgebra de Lie del grupo también un conjunto de generadores infinitesimales de la Mentira de grupo?

Question

Deje $G$ ser un (EDICIÓN: conectado) se encuentran el grupo de dimensión $n$, y deje $\mathfrak{g}$ ser el asociado Mentira álgebra. Si $x_1,\ldots,x_n$ es una base para $\mathfrak{g},$ es necesariamente cierto que el parámetro 1-subgrupos $e^{tx_1},\ldots,e^{tx_n}$ generar $G$?

Nota: es suficiente para mostrar que el subgrupo generado por el parámetro 1-subgrupos es cerrado, ya que se entiende que es una Mentira subgrupo de dimensión $n$. En particular, debe contener un barrio de la identidad, que genera $G$.

También, tenga en cuenta que no siempre es cierto que el subgrupo generado por parámetro 1-subgrupos es una Mentira subgrupo; considerar el parámetro 1-subgrupo de la 2-toro que es una línea con irracional de la pendiente.

Answer 1

Deje $x=\sum c_ix_i\in\mathfrak{g}$. Considerar el mapa de $f:\mathfrak{g}\to G$$f(x)=e^{c_1x_1}\cdots e^{c_nx_n}$. Tenemos $$df_0=\left.\frac{d}{dt}f(tx)\right|_{t=0}=\frac{d}{dt}(1+tc_1x_1+O(t^2))...(‌1+tc_nx_n+O(t^2))=\frac{d}{dt}(1+tx+O(t^2))=x.$$

Esto implica $df$ es surjective en una vecindad de cero, lo que implica $f$ está abierto en una vecindad de cero. Así, la imagen de $f$, que está dentro del subgrupo generado por el parámetro 1-subgrupos, contiene un barrio de la identidad, y por lo tanto es la de todo el grupo.