Creo que es una super pregunta básica pero parece que no puedo envolver mi cabeza alrededor de cómo pensar acerca de esto.
Deje $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ ser diferenciable. Podemos fijar un $x \in \mathbb{R}^n$ y definir la función $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$g(t) = f(tx), \forall t \in \mathbb{R}$.
Ahora, mi pregunta es, ¿qué es $g'(t)$? Si yo fuera derivando $f(tx)$ con respecto al $x$, esto es fácil, he a $f'(tx)t$, pero no es realmente claro cómo derivar con respecto a $t$.
Es $f'(tx)x = \nabla f(tx)x$? Si sí, ¿por qué? No se que implica que $g'(t) \in \mathbb{R}^n$, ya que el $f'(tx) =\nabla f(tx) \in \mathbb{R}$$x \in \mathbb{R}^n$?
Me disculpo si esta una super pregunta básica y me estoy perdiendo algo crucial!
EDIT: Ok, creo que tengo una comprensión de ahora. He aquí lo que tengo:
Deje $h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n, h(t) = tx$. Ahora, tenemos $g(t) = f(h(t))$, y así, por la regla de la cadena:
\begin{align} Dg(t) & = Df(h(t))\cdot Dh(t) = \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial h_1(t)} & \dots & \frac{\partial f}{\partial h_n(t)}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{\partial h_1}{\partial t} \\ \vdots \\ \frac{\partial h_n}{\partial t}\end{pmatrix} \\[10] & = \frac{\partial f}{\partial h_1(t)}\frac{\partial h_1}{\partial t} + \dots + \frac{\partial f}{\partial h_n(t)}\frac{\partial h_n}{\partial t} \\[10] & = \frac{\partial f}{\partial h_1(t)}x_1 + \dots + \frac{\partial f}{\partial h_n(t)}x_n = \frac{\partial f}{\partial tx_1}x_1 + \dots + \frac{\partial f}{\partial tx_n}x_n = Df(tx)x. \end{align}
Es este entendimiento correcto? Por otra parte, es $\nabla f(x) = \begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{pmatrix}$ o $\nabla f(x) = \frac{\partial f}{\partial x_1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial x_n}$? Pensé que era el último, lo que llevó a la confusión, pero el ocuparse de todo en jacobiana forma, parece que es el antiguo?
