Grupo de Teoría: Cíclica de los grupos y Subgrupos de Dihedrals, es mi prueba ¿de acuerdo?

Question

Supongamos que tenemos un grupo Diedro $D_{30}$.
a) Encontrar una cíclico subgrupo H de orden 10 en $D_{30}$. Lista de todos los generadores de H.
b) sea k y n es un entero tal que k >= 3 y k divide a n. Demostrar que $D_n$ contiene exactamente un subgrupo cíclico de orden k.

Mi intento:
a) en $D_{30}$ sabemos que |r| = 30. Así podemos encontrar un subgrupo cíclico H generado por r tal que es del orden de 10. tomar < $r^{30/10}$ > = < $r^3$ >. A continuación, < $r^3$ > contiene el elemento de identidad e y poderes de $r^3$,$r^{27}$. Por lo tanto el generador de H es, a continuación,$r^3$. Sería bueno?

b) Desde k divide a n, podemos escribir n como n = kp para algunos p. Entonces vemos que mcd(n,k) = k y por lo tanto:
|< r >| = |r| = n.

Entonces por el teorema Fundamental de los grupos cíclicos puedo decir que el grupo tiene exactamente un subgrupo de orden k, es decir: = desde n = kp. Y hemos terminado.

Este es mi primer curso en Teoría de grupos, así que estoy bastante inestable e inseguro acerca de mis pruebas. Sus comentarios y ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Usted está usando $D_{30}$ a representar el diedro grupo de orden $60$, $r$ correspondiente a la "rotación", y algún otro elemento, llamado por $s$, la "reflexión"; es decir, $$D_{30}=\left\langle r,s\Bigm| r^{30} = s^2 = 1,\quad sr = r^{-1}s\right\rangle.$$

La parte (a): La primera parte comienza bastante bien, pero parece que usted no leyó la pregunta con cuidado. La última parte de la parte (a) pide a encontrar todos los generadores del subgrupo $H$.

Se llevó a $H=\langle r^3\rangle$. Eso está bien; este es un grupo de orden $10$. Pero $r^3$ no es el único generador de este grupo. Tal vez usted sabe que, en general, el grupo cíclico de orden $n$, $C_n$ ha $\varphi(n)$ generadores, en $\varphi$ es de Euler función que cuenta el número de enteros positivos a menos de $n$ y relativamente primer a $n$ (si no, a continuación, tratar de demostrarlo). Por lo $H$, siendo cíclico de orden $10$, debe tener $\varphi(10) = 4$ generadores. Usted ha encontrado uno, hay tres más para ir.

De su parte (b) también se sufre un poco. Usted sabe que hay uno y sólo un subgrupo de $\langle r\rangle$ que tiene orden de $k$; eso está bien. Pero no demostrar que cada subgrupo de $D_n$ orden $k$ debe ser un subgrupo de $\langle r\rangle$! Usted necesita demostrar que si usted quiere que su argumento para sostener. Por lo que tendría que mostrar que el sólo elementos de orden $k$ de toda la mentira en $\langle r\rangle$; que es donde usted va a necesitar el hecho de que $k\geq 3$. Tal vez usted puede demostrar que todos los demás elemento tiene otras ideas acerca de cuál es su orden?

Answer 2

Para la primera parte, una solución es utilizar la fuerza bruta como seguir.

Consideremos $D_{30}$ que actúa sobre un conjunto de cardinalidad $30$, generado por los dos elementos $(1, 2, 3, 4, 5,$ $6, 7, 8, 9, 10,$ $11, 12, 13, 14, 15,$ $16, 17, 18, 19, 20,$ $21, 22, 23, 24, 25,$ $26, 27, 28, 29, 30)$ y $(1, 30)(2, 29)(3,28)$ $(4, 27)(5, 26)(6, 25)$ $(7, 24)(8, 23)(9, 22)$ $(10, 21)(11, 20)(12, 19)$ $(13, 18)(14, 17)(15, 16)$.

Entonces el subgrupo cíclico de la orden de 10 de $D_{30}$ es generado por $(1, 28, 25, 22, 19,$ $16, 13, 10, 7, 4)$ $(2, 29, 26, 23, 20,$ $17, 14, 11, 8, 5)$ $(3, 30, 27, 24, 21,$ $18, 15, 12, 9, 6)$ y $(1, 25, 19, 13, 7)$ $(2, 26, 20, 14, 8)$ $(3, 27, 21, 15, 9)$ $(4, 28, 22, 16, 10)$ $(5, 29, 23, 17, 11)$ $(6, 30, 24, 18, 12)$.

Esto puede comprobarse fácilmente con el Magma o la BRECHA. Sin embargo estoy de acuerdo en que carece de sutileza. Probablemente utilice parte de las $b)$ a construir una mejor respuesta.

Para la segunda parte, me permito sugerir esto.

Es bien sabido que un diedro grupo puede ser generado por dos involuciones de la siguiente manera: $$D_{n}=\langle s,t \mid s^2=t^2=e, (st)^n=e \rangle$$ Por otro lado, un grupo cíclico de orden $k$ es generado por un elemento único de la orden $k$: $$C_k= \langle r \mid r^k=e \rangle$$ Ahora toma un entero $k\geq 3$ tal que $k\mid n$. Por lo tanto, no existe $p \in \mathbb{N}$ tal que $pk=n$. Considerando $s,t$ como en la presentación de $D_n$, uno tiene $$(st)^n = e$$ and thus $$((st)^p)^k = e$$ that is to say, there exists an element $r := (st)^p$ of order $k$ in $D_n$.

Por lo tanto, no existe $H < D_n$ tal que $$H= \langle r \mid r^k=e \rangle$$ i.e. $H$ is a cyclic group of order $k$. Unicity is a consequence of the fact that $r$ is uniquely determined as soon as $k$ is not $2$. In this case, any involution generates a cyclic group of order $2$.

Espero haber respondido a tu pregunta.