8 los nuevos empleados están asignados a 3 diferentes departamentos. Cuántas diferentes maneras de asignar a los empleados existir si cada departamento tiene que recibir por lo menos un empleado?
Al principio pensé que trabajar con los departamentos como conjuntos, pero creo que eso no es posible porque el problema no dice que los empleados pueden trabajar en uno o más departmets. Está trabajando con los departamentos como establece el derecho de opción?
El número de maneras de hacer mapas de $8$ personas en $3$ departamentos es $N(0)=3^8$. El número de maneras de perder a un departamento en particular podría ser $\binom{3}{2}2^8$. El número de maneras de perder dos departamentos en cuestión sería $\binom{3}{1}1^8$. El número de maneras de perder tres departamentos en cuestión sería $\binom{3}{0}0^8$.
Inclusión-Exclusión dice que hay $$ 3^8-\binom{3}{2}2^8+\binom{3}{1}1^8-\binom{3}{0}0^8=5796 $$ maneras de distribuir la $8$ de las personas entre $3$ departamentos con ningún vacío departamentos.
Esto es equivalente a contar el número de surjective mapas a partir del conjunto de empleados $\{e_1,\dots,e_8\}$ para el conjunto de los departamentos de $\{d_1,d_2,d_3\}$. Así que usted consigue $$S(8,3)\times 3!=5796\quad \text{ways}$$ donde $S(8,3)$ es el número de Stirling de segundo tipo. Recordemos que la condición de cada departamento tiene que recibir por lo menos un empleado significa que cada mapa tiene que ser surjective.
El número de surjective mapas de una $n$ elementos en un $k$ elementos está dada por: $$S(n,k)\cdot k!$$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
