Determinante de un rango de $1$ actualización de un escalar matriz, o polinomio característico de un rango de $1$ matriz

Question

Esta pregunta tiene como objetivo crear un "resumen duplicado" de numerosas preguntas sobre los determinantes de las matrices específicas (que puede haber perdido algunos):

• Los autovalores de una matriz de $1$'s
• Autovalores para el rango de una matriz $uv^T$
• El cálculo de $\det(A+I)$ de la matriz $A$ determinado por los productos
• Cómo calcular los siguientes determinantes (todos, menos el $I$)
• El determinante de una especialmente estructurado de la matriz
• El determinante de una especial $n\times n$ matriz
• Encontrar los valores propios de una matriz con unos en la diagonal, y todos los otros elementos de la igualdad de
• El determinante de una matriz con $t$ en todas las entradas fuera de la diagonal.
• Polinomio característico - el uso de rango?
• determinante de rango-una actualización de la matriz de identidad

La pregunta general de este tipo es

Deje $A$ ser una matriz cuadrada de rango$~1$, vamos a $I$ la matriz identidad del mismo tamaño, y $\lambda$ un escalar. ¿Cuál es el factor determinante de la $A+\lambda I$?

Una claridad muy estrechamente relacionadas con la cuestión es

¿Cuál es el polinomio característico de una matriz de $A$ de la fila$~1$?

Answer 1

La formulación en términos del polinomio característico lleva inmediatamente a una respuesta fácil. Para una vez que uno usa su conocimiento acerca de los autovalores para encontrar el polinomio característico del lugar de la otra manera alrededor. Desde $A$ rango$~1$, el núcleo de los asociados lineal operador tiene dimensión $n-1$ (donde $n$ es el tamaño de la matriz), por lo que hay (a menos $n=1$) un autovalor$~0$ con multiplicidad geométrica$~n-1$. La multiplicidad algebraica de $0$ como autovalor es entonces, al menos,$n-1$, lo $X^{n-1}$ divide el polinomio característico$~\chi_A$, e $\chi_A=X^n-cX^{n-1}$ para algunas constantes$~c$. De hecho, $c$ es la traza $\def\tr{\operatorname{tr}}\tr(A)$$~A$, ya que esto tiene para el coeficiente de $X^{n-1}$ de cualquier matriz cuadrada de tamaño$~n$. Así que la respuesta a la segunda pregunta es

El polinomio característico de una matriz de $A$ de la fila$~1$ $X^n-cX^{n-1}=X^{n-1}(X-c)$ donde $c=\tr(A)$.

Los vectores distintos de cero en el $1$-dimensiones de imagen de$~A$ son vectores propios de la eigenvlaue$~c$. Por lo $A-cI$ aniquila la imagen de$~A$; el polinomio mínimo es $X(X-c)$ (a menos que $n=1$, en cuyo caso es $X-c$). En particular, un rango de$~1$ matriz $A$ es diagonalisable si y sólo si $\tr(A)\neq0$. Para este punto, ver también esta pregunta.

Para la primera pregunta que podemos sacar de todo esto (en sustitución de $A$$-A$, que también es de rango$~1$)

Para una matriz de $A$ de la fila$~1$ ha $\det(A+\lambda I)=\lambda^{n-1}(\lambda+c)$ donde $c=\tr(A)$.

En particular, para un $n\times n$ matriz diagonal con entradas de todo igual a$~a$ y entradas fuera de la diagonal iguales a$~b$ (que es el más popular caso especial de una combinación lineal de un escalar y un rango de una matriz) se encuentra (utilizando para $A$ el todo-$b$ matriz, y $\lambda=a-b$) como determinante $(a-b)^{n-1}(a+(n-1)b)$.