Problema
Dada:
$$\vec r = r(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)$$
$S: | \vec r | = a$ con $\hat n$ hacia el exterior
$$\vec r_0 = \frac{3a}{5}(\hat x + \hat y - \hat z) = \frac{3a}{5}(1,1,-1)$$
$$\vec F = k \frac{\vec r - \vec r_0}{ {| \vec r - \vec r_0 |}^3 }$$
Calcula:
$$\int_S \vec F \cdot \mathrm d \vec S $$
Solución (añadida después de la respuesta aceptada)
Gracias a la respuesta aceptada que confirmó que el cálculo explícito sobre/en $S$ es y la sugerencia de utilizar la invariancia de traslación, he anotado la solución a continuación (hazme saber si tienes más sugerencias).
Se utiliza un argumento que concluye que el integrando es cero dentro de la esfera $S$ .
Usando el teorema de Gauss: $\int_S \vec F \cdot \mathrm d \vec S = \int_V \nabla \cdot \vec F \mathrm dV $ .
Dado que el cálculo no es fácil de calcular explícitamente en (o en) $S$ En cambio, se demuestra que $\nabla \cdot \vec F = 0$ exterior a $S_{\epsilon}$ que es una esfera que contiene la singularidad, y como $S$ es exterior a $S_{\epsilon}$ el integrando debe ser $0$ y así $\int_V \nabla \cdot \vec F \mathrm dV = 0$ .
$$S_{\epsilon}: |\vec r - \vec r_0 | = \epsilon, \epsilon > 0$$
trasladar el sistema de coordenadas de manera que $S_{\epsilon}$ es el origen en el sistema traducido:
$$\vec R = \vec r - \vec r_0 = R (\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)$$
$$F(\vec R) = k \frac{\vec R}{|\vec R|^3} = k \frac{1}{R^2} \hat R$$
$$S_{\epsilon}: |\vec R| = \epsilon$$
$$\nabla \cdot \vec F (\vec R) = \frac{1}{R^2} \frac{\partial}{\partial R} \left(R^2 \vec F_R \right) = \frac{1}{R^2} \frac{\partial}{\partial R} \left(R^2 k \frac{1}{R^2} \right) = 0$$ , ( $k$ es una constante)
Esto es cierto para cualquier valor de $R$ excepto en la singularidad ( $\epsilon$ puede hacerse tan pequeño como sea necesario), ya que $S$ no contiene la singularidad, el integrando ( $\nabla \cdot \vec F(\vec r)$ es 0 y, por tanto, la integral es cero.
Mi pregunta (actualizada)
Tengo dificultades para calcular explícitamente el valor de esta integral. Específicamente, la divergencia del campo se vuelve confusa, no soy capaz de ver cómo puedo utilizar la simetría de $S$ debido a $\vec r_0$ . (Al aplicar el teorema de Gauss, me atasco en la evaluación de la divergencia del campo).
Puedo argumentar que esta integral es efectivamente cero (el campo sólo tiene una singularidad y es exterior a la esfera $S$ ). Sin embargo, no soy capaz de demostrar explícitamente (mediante el cálculo) que esta integral es cero. Agradezco cualquier ayuda.
Por favor, tened en cuenta que esto no son deberes, estoy estudiando para un examen.
Mi pregunta (original)
¿Cuál es una manera fácil de calcular esta integral? ¿Alguna sugerencia sobre los enfoques que se presentan a continuación?
Mis disculpas si esto se debe a la falta de algunos conocimientos básicos (he vuelto a estudiar después de 2,5 años)
Intuitivamente entiendo que la integral es cero (el punto de carga se encuentra fuera de la esfera, cualquier cosa que fluya hacia la esfera también saldrá), sin embargo, tengo problemas con el cálculo.
Calcular directamente
$$\int_S \vec F \cdot \mathrm d \vec S = \int_0^{\pi} \mathrm d \theta \int_0^{2\pi} \mathrm d \phi r^2 \sin {\theta} \vec F_r \cdot \hat r = \int_0^{\pi} \mathrm d \theta \int_0^{2\pi} \mathrm d \phi r^2 \sin \theta k \frac{a - \frac{3a}{5} \left( \sin \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi - \cos \theta) \right)}{ {\left| \vec r - \vec r_0 \right|}^3 }$$
Utilizando el teorema de Gauss
Estoy tentado de usar el teorema de Gauss, $\int_S \vec F \cdot \mathrm d \vec S = \int_V \nabla \cdot \vec F \mathrm dV $ en coordenadas esféricas. Sin embargo, $\vec F$ tiene componentes también en $\hat \theta$ y $\hat \phi$ (debido a $\vec r_0$ ) y ${\left| \vec r - \vec r_0 \right|}^3$ no es tan agradable de derivar.
$$\vec F_r = k \frac{\vec r - \vec r_0}{ {\left| \vec r - \vec r_0 \right|}^3 } \cdot \hat r = k \frac{r - \frac{3a}{5} \left( \sin \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi - \cos \theta) \right)}{ {\left| \vec r - \vec r_0 \right|}^3 }$$
$$\vec F_{\theta} = k \frac{\vec r - \vec r_0}{ {\left| \vec r - \vec r_0 \right|}^3 } \cdot \hat \theta = k \frac{ \frac{3a}{5} \left( \cos \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi - \sin \theta) \right)}{ {\left| \vec r - \vec r_0 \right|}^3 }$$
$$\vec F_{\phi} = k \frac{\vec r - \vec r_0}{ {\left| \vec r - \vec r_0 \right|}^3 } \cdot \hat \phi = k \frac{ \frac{3a}{5} \left( - \sin \phi + \cos \phi ) \right)}{ {\left| \vec r - \vec r_0 \right|}^3 }$$
$$\nabla \cdot \vec F = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^2 \vec F_r \right) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta F_{\theta} \right) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial F_{\phi}}{\partial \phi}$$
