Para $a, b, c$ es la longitud de tres lados de un triángulo. Demuestra que $\left|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right|<\frac{1}{8}$

Question

Para $a, b, c$ es la longitud de tres lados de un triángulo. Demuestra que $$\left|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}\right|<\frac{1}{8}$$

Answer 1

Dejemos que $a=y+z$ , $b=x+z$ y $c=x+y$ .

Por lo tanto, $x$ , $y$ y $z$ ser positivos y tenemos que demostrar que $$(2x+y+z)(2y+x+z)(2z+x+y)\geq8\sum_{cyc}(y-x)(2x+y+z)(2y+x+z)$$ o $$\sum_{cyc}\left(2x^3+15x^2y-x^2z+\frac{16}{3}xyz\right)\geq0,$$ lo cual es obvio porque $x^3+y^3+z^3\geq x^2z+y^2x+z^2y$ por reordenación.

Answer 2

SUGERENCIA: utilizar que obtenemos para la suma $$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{(a-b) (a-c) (b-c)}{(a+b) (a+c) (b+c)}$$