Es $a \circ b = \sqrt{a^2+b^2}$ alguna vez a un grupo?

Question

Me han pedido que "Muestran que la operación $a ~ \circ ~ b = \sqrt{a^2+b^2}$ es asociativa, conmutativa y tiene una identidad, sino que la recíproca no siempre existen." Wihch es bastante fácil de hacer si se supone que $a,b \in \mathbb{R}$, salvo que la pregunta no dice más de lo que el campo a y b existe, sin embargo, Si $a,b \in \mathbb{C}$, a continuación, todos los elementos tienen invereses en el hecho de que cada elemento tiene dos inversos, que creo que no es apropiado para un grupo, pero este me empecé a pensar que tal vez este operador puede ser classifable como un grupo de operación si $a,b$ son elegidos para existe sobre algún campo específico, como la matriz, modular o finito o cualquier otro campo o el anillo ?.

Una posibilidad que he considerado es compleja mitad superior del plano definido por $a,b \in \mathbb{H} = \{x + iy \mid y > 0 ; x,y \in \mathbb{R} \}$ pero no estoy seguro de si esto sería suficiente para definir la operación como un grupo operador o demostrar la pregunta incorrecta.

Creo que la pregunta está destinado a ser contradictorias y estimular la discusión, pero no estoy bien informado lo suficiente como para determinar si hay situaciones en las que este operador será suficiente para un grupo ?, cualquier ayuda sería muy apreciada.

Michael

Answer 1

Deje $R$ ser un anillo* tal que para cada una de las $x\in R$ no es un elemento único de $x'$ tal que $x'^2= x$, de la llamada que el elemento $\sqrt x$.

Luego de la operación $a\circ b=\sqrt{a^2+b^2}$ puede ser definido, es asociativa y conmutativa, y tiene la identidad $0$ (la identidad aditiva de $R$). Ahora supongamos que para un elemento $a$ no es un porcentaje ($b$tal que $a\circ b=0$, $a$ tiene una inversa. Se sigue de la definición de $\sqrt\cdot$ y el anillo de axiomas $\sqrt 0=0$, por lo que debemos tener $a^2+b^2=0$$b^2=-a^2$. Por lo tanto $a$ tiene una inversa de a $\circ$ fib $-a^2$ es el cuadrado de algún elemento, pero esto está garantizado por nuestros supuestos acerca de la $R$.

Por lo tanto, mientras $\sqrt\cdot$ está definida de forma única y $R$ es cerrado bajo, $R$ es un grupo en $\circ$. Tenga en cuenta que la singularidad es realmente importante, ya que si $\sqrt\cdot$ no es el único, ni siquiera hay una identidad. Si $x\neq y$ ambos tienen la misma plaza, entonces cualquiera de las $x\circ0\neq x$ o $y\circ0\neq y$. Esto elimina la posibilidad de simplemente tomar algo como $\mathbb C$ y la definición de $\sqrt\cdot$ a trozos.

* Técnicamente, no tenemos la distributividad. $R$ tiene que ser un grupo bajo la suma y satisfacer $0^2=0$.

Answer 2

Para mostrar un ejemplo de cómo Jack obras de construcción, he aquí un ejemplo concreto:

Es bien sabido que los enteros no negativos $\mathbb{Z}^{\geq 0}$ forma un grupo bajo la operación $\oplus$ de nim-adición (o, equivalentemente, en virtud de bit a bit or exclusivo), con identidad $0$ y cada número es su propia inversa. Esta infinita grupo (que es el proyectiva límite del producto de $n$ copias de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ $n\to\infty$ en la forma obvia) ha finito subgrupos correspondientes a la restricción de a $0\leq n\lt 2^i$ por cada $i$.

Lo que es menos conocido es que también hay una operación de multiplicación, nim-la multiplicación, que es compatible con nim-adición y forma un anillo (de hecho, un campo!) más de $\mathbb{Z}^{\geq 0}$. Una manera de definir la multiplicación es establecer $\alpha\otimes\beta = \mathop{mex}(\alpha'\otimes\beta\oplus\alpha\otimes\beta'\oplus\alpha'\otimes\beta' : \alpha'\lt\alpha, \beta'\lt\beta)$ donde $\mathop{mex}()$ se refiere a los mínimos excluidos de valor, el número más pequeño no en el conjunto dado (en esta notación, nim-adición de sí mismo puede ser definido por $\alpha\oplus\beta = \mathop{mex}(\alpha'\oplus\beta, \alpha\oplus\beta')$); otro (obviamente más sencillo) es como el proyectiva límite de los campos de Galois de la orden de $2^{2^n}$; y tanto como en la adición caso, las restricciones (en este caso, los campos individuales de tamaño $2^{2^i}$) son todos finitos subcampos. Aquí (copiada de la Wikipedia) es la tabla de multiplicación para $n\lt 16 = 2^{2^2}$:

$$\begin{matrix} 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\ 0&2&3&1&8&10&11&9&12&14&15&13&4&6&7&5\\ 0&3&1&2&12&15&13&14&4&7&5&6&8&11&9&10\\ 0&4&8&12&6&2&14&10&11&15&3&7&13&9&5&1\\ 0&5&10&15&2&7&8&13&3&6&9&12&1&4&11&14\\ 0&6&11&13&14&8&5&3&7&1&12&10&9&15&2&4\\ 0&7&9&14&10&3&13&4&15&8&6&1&5&2&12&11\\ 0&8&12&4&11&3&6&15&13&5&1&9&6&14&10&2\\ 0&9&14&7&15&6&1&8&5&12&11&2&10&3&4&13\\ 0&10&15&5&3&9&12&6&1&11&14&4&2&8&13&7\\ 0&11&13&6&7&12&10&1&9&2&4&15&14&5&3&8\\ 0&12&4&8&13&1&9&5&6&10&2&14&11&7&15&3\\ 0&13&6&11&9&4&15&2&14&3&8&5&7&10&1&12\\ 0&14&7&9&5&11&2&12&10&4&13&3&15&1&8&6\\ 0&15&5&10&1&14&4&11&2&13&7&8&3&12&6&9\\ \end{de la matriz} $$ Se puede ver claramente el subcampo de la orden de $4=2^{2^1}$ incrustado en la esquina superior izquierda de esta tabla de multiplicación; también se puede ver que la diagonal es una permutación de $[0\ldots 15]$, o en otras palabras que para cada una de las $x\in F_{16}$ hay una única $y$ tal que $y\otimes y=x$. (Esto no es una prueba de la arbitraria caso, por supuesto, pero que también se puede hacer; creo Conway En Números Y Juegos cubre la singularidad de las raíces cuadradas). La determinación de a qué grupo de la orden de 16 de la operación $a\circ b = \sqrt[\otimes]{a^{\otimes2}\oplus b^{\otimes2}}$ genera es un buen ejercicio (sugerencia: ¿qué es la inversa de a $a$ bajo $\circ$?); de hecho, $\circ$ aquí resulta ser incluso más sencillo de lo que cabría esperar, gracias a un sencillo pero a la vez inesperado identidad! (otra pista: expandir $(a\oplus b)\otimes(a\oplus b)$.)

Answer 3

Para abordar el segundo párrafo de la pregunta: Sí, $\circ$ es un grupo de funcionamiento en cualquiera de los siguientes subconjuntos de a $\mathbb{C}$:

• $\{0\}$
• Su conjunto $\mathbb{H}$, junto con los números reales no negativos
• Más generalmente, $\sqrt{G}$ donde $\sqrt{\phantom{G}}$ es una rama de la raíz cuadrada y $G$ es un subgrupo de $\mathbb{C}$.

Answer 4

No sé si esto es lo que estás buscando, pero si usted está dispuesto a aceptar la ampliación de la monoid en cuestión, el grupo de Grothendieck de este monoid puede ser construida. No he trabajado fuera de los detalles, pero creo que el resultado podría ser muy interesante.

(Es posible que desee restringir el monoid que empezar para ser enteros no negativos/racionales/números reales si desea que la cancelación de la propiedad.)