Caminata al azar en $\mathbb{Z}^d$

Question

Problema Deje $\{X_n\}_{n=0}^{\infty}$ ser un paseo aleatorio en $\mathbb{Z}^d$ tales que; $X_0=(0,0,\cdots,0)$ $\{X_n-X_{n-1}\}_{n=1}^{\infty}$ son mutuamente independientes, identitically distribuidas $\mathbb{Z}^d$valores de variables aleatorias(no necesariamente nearst vecino). Se sabe que: $\exists \: C,c_1, c_2,\cdots, c_d \in \mathbb{R^+\cup{0}} \ \ \ \mbox{with} \ \ \sum_{i=1}^{d}c_i>1 \ \ \ \mbox{s.t.}$ $$ P((X_n)_i=0)\leq C n^{-c_i} \ \ \ \forall n\geq 1$$ Donde $(X_n)_i$ $i$th de coordenadas de la variable aleatoria $X_n$.

Demostrar que la probabilidad de volver al punto de inicio es menor que $1$, es decir. $P(\exists n\geq1 \ \ X_n=0)<1$

Lo que he hecho Desde Fubini-Tonelli tenemos:
$P(\exists n\geq1 \ \ X_n=0)<1 \Longleftrightarrow E [ \sum \limits_{n=0}^{\infty} \chi_{\{X_n=0\}}] < \infty$
$E [ \sum \limits_{n=0}^{\infty} \chi_{\{X_n=0\}}] = \sum \limits_{n=0}^{\infty} E[\chi_{\{X_n=0\}}] = \sum \limits_{n=0}^{\infty} P(X_n=0) $
Por lo tanto tenemos:
$P(\exists n\geq1 \ \ X_n=0)<1 \Longleftrightarrow \sum \limits_{n=0}^{\infty} P(X_n=0)<\infty $
Así que necesitamos a un summable límite superior para $P(X_n=0)$. Por la probabilidad condicional de que sabemos:
$P(X_n=0)=P((X_n)_1=0,(X_n)_2=0,\cdots,(X_n)_d=0)$
$=P((X_n)_1=0 \ |(X_n)_2=0,\cdots,(X_n)_d=0)\times \\ P((X_n)_2=0 \ |(X_n)_3=0,\cdots,(X_n)_d=0)\times \cdots \times \\ P((X_n)_{d-1}=0 \ |(X_n)_d=0) \times P((X_n)_d=0)$

Problemas: sería genial si fue cierto para $1\le i \le d-1$:
$P((X_n)_i=0 \ |(X_n)_{i+1}=0,\cdots,(X_n)_d=0) < P((X_n)_i=0)$
Pero no lo es. En realidad lado derecho también podría ser reemplazado por $K_n P((X_n)_i=0)$, para algunos adecuado $K_n$. Sin embargo, yo no podía encontrar. Podría por favor ayudarme con esto?

Answer 1

Contraejemplo Vamos

$$S_n := \sum_{j=1}^n Y_j, \qquad n \in \mathbb{N} \tag{1}$$

un simple paseo aleatorio en $\mathbb{Z}$, es decir, $Y_j \sim \frac{1}{2} (\delta_1+\delta_{-1})$ independientes idénticamente distribuidas variables aleatorias. Por la fórmula de Stirling, tenemos

$$\mathbb{P}(S_{2n}=0) = 2^{-2n} {2n \choose n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \qquad \text{and} \qquad \mathbb{P}(S_{2n+1}=0)=0 \tag{2}$$

para $n$ lo suficientemente grande. Ahora vamos a definir una caminata al azar en $\mathbb{Z}^3$ por

$$X_n := ((X_n)_1,(X_n)_2,(X_n)_3)^T := \sum_{j=1}^n (Y_j,Y_j,Y_j)^T=(S_n,S_n,S_n)^T. $$

A continuación,

$$\mathbb{P}((X_n)_i=0) = \mathbb{P}(S_n=0) \stackrel{(2)}{\leq} \frac{C}{\sqrt{n}},$$

es decir, podemos elegir $c_i=1/2$$i=1,2,3$. Obviamente, $\sum_{i=1}^3 c_i>1$. Por otro lado, tenemos

$$\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(X_n=0) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}((X_n)_1=0) = \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(S_n=0) \stackrel{(2)}{=} \infty.$$

Esto significa que $\mathbb{P}(X_n=0 \, \text{infinitely often})=1$ - y esto contradice la afirmación.