No llego a ninguna parte con esta integración trigonométrica: $\left(\frac{1}{1 + \sin x \cos{x}}\right)$

Question

chicos necesito ayuda para integrar la función. Llevo una hora dándole vueltas y no he conseguido nada.

$$\left(\frac{1}{1 + \sin x \cos{x}}\right)$$

Answer 1

Bueno, lo hemos hecho, $$I = \int \frac {1}{1+ \sin x \cos x} \mathrm {d}x $$ $$= \int \frac {2}{\sin 2x +2} \mathrm{d}x $$ $$= \int \frac {2}{\frac {2\tan x}{1+\tan^2 x} + 2} \mathrm {d}x $$ Sustituyendo $u = \tan x $ obtenemos, $$I = \int \frac {1}{u^2+ u+1} \mathrm {d}u $$ $$= \int \frac{1}{( u + \frac {1}{2})^2 + (\frac {\sqrt {3}}{2})^2} \mathrm {d}u $$ Espero que puedas seguir adelante.

Answer 2

SUGERENCIA:

$$1+\sin x\cos x=\cos^2x(1+\tan^2x+\tan x)=\dfrac{1+\tan^2x+\tan x}{\sec^2x}$$

Establecer $\tan x=y$

En general, para $$A\sin^2x+B\cos^2x+C\sin x\cos x+D$$ toma $\cos^2x$ o $\sin^2x$

Answer 3

Sugerencia

Sustituir $\tan \frac{x}{2}= t$ .

Answer 4

Un enfoque alternativo, que siempre funciona con funciones racionales que contienen polinomios de $\sin(x)$ y $\cos(x)$ .

En primer lugar, utilice la identidad de Euler $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ y $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ Ahora, sustituye $u=e^{ix}$ , $u^{-1}=e^{-ix}$ y $du=ie^{ix}dx \implies dx =\frac{du}{iu}$ . La integral resultante es siempre una función racional que contiene sólo polinomios en $u$ . La integral resultante puede entonces resolverse mediante fracciones parciales.