Resolución gráfica de raíces complejas: ¿cómo visualizarlas?

Question

Así que recientemente hemos estado haciendo las raíces complejas de cuadráticos, cúbicos y polinomios en general en la escuela. Pero mi pregunta es, ¿hay alguna manera de ver dónde están estas raíces, al igual que se puede ver dónde están las raíces reales viendo dónde se interceptan con el eje X?

Por ejemplo, en esta cúbica de aquí, es evidente que hay una raíz real justo debajo de -1, pero ¿hay alguna forma de visualizar las raíces complejas? ¿Existe otra línea (similar al eje x) que intercepte la ecuación en otra dimensión?

Answer 1

Aquí hay una manera.

Supongamos que queremos visualizar las raíces de la ecuación cúbica $$ z^3+z+1=0 $$

Escriba $z=x+iy$ y expandirse: \begin {align} (x+iy)^3+(x+iy)+1&=0 \\ x^3+3ix^2y-3xy^2-iy^3+x+iy+1&=0 \\ \end {align}

Tomando las partes real e imaginaria, obtenemos \begin {align} x^3-3xy^2+x+1&=0 \\ 3x^2y-y^3+y&=0 \end {align} El trazado de los conjuntos de soluciones de estas dos ecuaciones nos da dos curvas en el $xy$ -Avión:

Ahora, la expresión original es cero si y sólo si sus partes real e imaginaria son ambas cero. En otras palabras, las raíces de nuestro polinomio original corresponden a los puntos de intersección de estas dos curvas .

Este truco puede utilizarse para visualizar las raíces de cualquier función compleja $f$ . Simplemente escríbalo en el formulario $f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ y trazar los conjuntos de soluciones a $u(x,y)=0$ y $v(x,y)=0$ . Entonces las raíces corresponderán a las intersecciones de estas dos curvas.

Answer 2

He desarrollado un método muy claro para visualizar dónde están las raíces complejas de una ecuación. El método consiste en dibujar una gráfica de y = f(x) de la forma habitual en el plano x, y pero añadiendo un tercer eje para permitir esos valores complejos especiales de x que también producen valores reales de y. Esto significa que tenemos un eje y normal pero un plano x complejo. Esta es mi primera vez en stackexchange por lo que todavía no puedo proporcionarle algunos excelentes diagramas que muestran este método. Sin embargo, acabo de hacer un breve vídeo que muestra cómo funciona el método. Os animo a verlo. Soluciones de cúbicos usando gráficos fantasma http://screencast.com/t/dkAYxFDwH

Además, he escrito una sección especial sobre este mismo tema en mi sitio web: http://www.phantomgraphs.weebly.com sólo tienes que bajar hasta la última entrada que he hecho especialmente para esta pregunta.