Cálculo del determinante de una matriz utilizando su rango.

Question

Sean A, B, C y D matrices reales n × n. Si

$$ \ operatorname {rank} \begin{bmatrix} \ A & B \\[0.3em] \ C & D \\[0.3em] \end {bmatrix} = n $$

entonces muestra que

$$ \ det \begin{bmatrix} \det A & \det B \\[0.3em] \det C & \det D \\[0.3em] \end {bmatrix} = 0 $$

Answer 1

Consideremos dos casos.

1. $\def\rk{\operatorname{rank}}\rk([A~B])<n$. Entonces$\det(A)=\det(B)=0$ y el resultado es obvio.

2. $\rk([A~B])=n$. Ahora, el hecho de que agregar las filas de$[C~D]$ a la matriz no incremente el rango significa que cada una de esas filas es una combinación lineal de las filas de$[A~B]$. Esto significa que hay algunos$n\times n$ matriz$X$, tal que$[C~D]=X[A~B]$, lo que significa$C=XA$ y$D=XB$. Ahora, utilizando$\det(C)=\det(X)\det(A)$ y$\det(D)=\det(X)\det(B)$, el resultado vuelve a aparecer fácilmente.