Cohomología de la acción trivial de$\mathbb{Z}_p$ en$\mathbb{Z}$

Question

Me pregunto si el próximo ejercicio de 'Una introducción al álgebra homológica' de Weibel es correcto:

Deje que$G$ sea el grupo profinito$\widehat{\mathbb{Z}}_p$. Demuestre que $$ H ^ i (G; \ mathbb {Z}) = \begin{cases} \widehat{\mathbb{Z}}_p & \text{ if %#%#% even}\newline 0 & \text{ if %#%#% odd} \end {cases} $$

¿Es posible que$i$ deba ser reemplazado por$i$? He encontrado en el sitio web de Weibel que debería ser para$\widehat{\mathbb{Z}}_p$,$\mathbb{Z}(p^\infty)$ y para todos los demás$H^0(G;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}$$H^2(G;\mathbb{Z})=\mathbb{Z}(p^\infty)$%, pero no debería ser para% impar $i$y el resto aún$H^i(G;\mathbb{Z})=0$? ¿Ya que los grupos de cohomología$i$ son$\mathbb{Z}(p^\infty)$ para$H^i(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z};\mathbb{Z})$ par?

Answer 1

Si usted está usando continua cochain cohomology, a continuación, las cosas funcionan de la siguiente manera. Para $H^0$, se obtiene el invariantes, todos los de $\mathbb{Z}$ en este caso. Para $H^1$, se obtiene el grupo de continua homomorpisms de$\mathbb{Z}_p$$\mathbb{Z}$. La imagen de un homomorphism es necesariamente finito (por la continuidad, compacidad de $\mathbb{Z}_p$, y discreto de $\mathbb{Z}$), pero $\mathbb{Z}$ no tiene no trivial finito subgrupos, por lo que llegar a cero. El cohomology de secuencia asociados a $0\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\rightarrow 0$ muestra que $H^2(\mathbb{Z}_p,\mathbb{Z})\cong H^1(\mathbb{Z}_p,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, que es el grupo de continua homomorphisms de$\mathbb{Z}_p$$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, es decir, la Pontryagin doble de $\mathbb{Z}_p$. Este es isomorfo a $\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p$, o en su notación, $\mathbb{Z}(p^\infty)$. Para $H^q(\mathbb{Z}_p,\mathbb{Z})$, $q>2$, todos los grupos son iguales a cero, debido a la estricta cohomological dimensión de $\mathbb{Z}_p$$2$.

Por lo tanto, si Weibel se propone el estándar continuo cohomology de profinite grupos, entonces lo que él dice no es correcto. De lo contrario me temo que no estoy seguro.

EDIT: parece Que la corrección en Weibel del sitio web es correcta, de nuevo, suponiendo que continua cochains.