Dada una relación de recurrencia $$ x_{n+1} = x_n^2 + (1-2p)x_n + p^2\\ x_1 = a\\ n\in\Bbb N $$ encontrar todos los valores de $a, p \in\Bbb R$ para que $x_n$ converge.
Primero de todo he tratado de asumir que el límite existe. A continuación, debe coincidir con un punto fijo de la siguiente ecuación: $$ x = x^2 + (1-2p)x + p^2 $$ Que la solución para $x$le da: $$ (x-p)^2 = 0 \iff x = p $$
Por esto, si la recurrencia converge, entonces debe de cumplir que: $$ \lim_{n\to\infty}x_n = p $$
Permite ahora echemos un vistazo más de cerca a la recurrencia. He demostrado que se debe describir la secuencia progresión, a saber: $$ x_{n+1} = x_n^2 + (1-2p)x_n + p^2 \\ x_{n+1} = x_n^2 - 2px_n + p^2 + x_n \\ x_{n+1} = (x_n - p)^2 + x_n \\ x_{n+1} - x_n = (x_n - p)^2 > 0 \implica \boxed{x_{n+1} > x_n} $$
Por ello, la secuencia en la monótonamente creciente, no importa lo que las condiciones iniciales están dadas.
En este punto estoy perdido. ¿Cómo hacer una deducir las restricciones para $a, p$ para $x_n$ a ser convergente. Puesto que la sucesión es creciente supongo que el problema puede ser reducido a "encontrar los valores de $a, p$ para que la secuencia es limitada". El resultado debe seguir por la monotonía teorema de convergencia. La sección de respuestas sugiere que: $$ 0 \le p \le 1 $$
Lo que parece verdadero basado en la Telaraña de la parcela. Pero una parcela en no una prueba formal. Por desgracia yo no era capaz de inferir que el resultado. ¿Cuál es la manera correcta para terminar con el problema?
Tenga en cuenta que este problema se da en los límites de la sección. Así que incluso los derivados no están disponibles.
Respuestas
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En lugar de verla como un mapa en $x_n$, trate de examinar lo que sucede a $x_n-p$.
De la segunda a la última línea de la pantalla, es fácil de trabajar que $(x_{n+1}-p) = (x_n-p)^2 + (x_n-p).$
Así que la secuencia $b_n=x_n-p$ (que converge exactamente cuándo $x_n$ ) es la iteración debajo de ellos mapa de $t\mapsto t^2+t$. Ahora usted tiene una función para entender, no una clase. Suena como que usted tiene las herramientas necesarias para verificar esto converge si el valor inicial $b_1$ está entre -1 y 0.
Una primera simplificación es definir $y_n=x_n-p$. Entonces, como usted ya ha demostrado $$y_{n+1} -y_n=y_n^2\\ y_1 = a-p\\ n\in\Bbb N$$
el problema ahora es encontrar las condiciones en $y_1$ tal que $y_n \to 0$, yo.e para el estudio de la relación de recurrencia $y_{n+1}=f(y_n)$ con el fijo (independiente de $a$ e $p$) de la función de $f(x)=x+x^2$.
Como $y_{n+1} -y_n=y_n^2$ la sucesión es creciente, y la única manera posible de límites se $-1$ e $0$ así
- si $y_1 >0$ , a continuación, para todos los $n$, $y_n>0$ y la serie no converge.
- si $y_1 <-1$ entonces $y_2>0$ y una vez más para todos los $n$, $y_n>0$ y la serie no converge.
- si $-1 \leq y_1 \leq 0$ puede mostrar por recurrencia que para todos los $n$ $-1 \leq y_n \leq 0$, lo $y_n$ es un delimitada monótona de la función y por lo tanto converge.
Usted obtener finalmente la condición de $$-1 \leq y_1 \leq 0$$ yo.e $$-1 \leq a-p \leq 0$$
