El polinomio irreducible sobre$\mathbb{Q}[x]$ tiene un grado uniforme si la suma de dos raíces distintas se encuentra en$\mathbb{Q}$

Question

Deje que $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ sea un polinomio irreducible y suponga que $\alpha, \beta \in E/\mathbb{Q}$ son dos raíces distintas de $f(x)$ en su campo de división que satisface $\alpha + \beta \in \mathbb{Q}$ .

¿Cómo demuestro que el grado de $f(x)$ es par?

Answer 1

Supongamos $\alpha+\beta = r$.

Si $\gamma$ es cualquier raíz de $f(X)$, recoger algunas automorphism $\tau_\gamma$ de la división de campo de envío de $\alpha$ a $\gamma$. A continuación, $\gamma + \tau_\gamma(\beta) = r$.

Ahora la partición de las raíces de $f$ en pares que añadir a $r$.