Condiciones para los delimitados por debajo del operador siendo continuo.

Question

Deje $X$ e $Y$ ser espacios de Banach, $T: X\mapsto Y$, ser un delimitada por debajo de operador, lo que significa $\|Tx\|\geq m\|x\|$. Bajo qué condiciones es $T$ continua (delimitada desde arriba)? Aquí se dijo que la misma está implicada directamente, pero ¿cómo puede uno demostrar que $\operatorname{im} T$ es cerrado en $Y$ como se usaba en esa respuesta? Estoy con vistas a algo? O hay detalles que faltan?

Answer 1

Deje $X$ ser un infinito-dimensional espacio de Banach y $(a_i)_{i\in I}$ algebraica de base de $X$. Definir $T:X\to \ell^1(I)$ a través de la extensión lineal de $T(a_i)=\|a_i\| i$ (aquí se $i$ indica el $\ell^1$-Base del elemento). Tenga en cuenta que $$\left\|T\left(\sum_i v_i a_i\right)\right\|_{\ell^1(I)} = \left\|\sum_i v_i\|a_i\|_X\ i\right\|_{\ell^1(I)}=\sum_i |v_i|\, \|a_i\|_X ≥ \left\|\sum_i v_i a_i\right\|_X$$ and thus $T$ es limitada desde abajo.

Sin embargo, este mapa no tiene ninguna posibilidad de ser continua, y la imagen no está cerrado, me parece que la afirmación es incorrecta.