Supongamos que$f$ está completo y$\lim_{z\to\infty}f(z)=\infty$. Muestra esa $f(\mathbb{C})=\mathbb{C}$

Question

Supongamos $f$ es todo y $\lim_{z\to\infty}f(z)=\infty$. Mostrar que $f(\mathbb{C})=\mathbb{C}$.

Primero de todo yo no entiendo muy bien esta pregunta. Sé $z\to\infty$ medio $|z|\to\infty$, pero ¿en qué $f(z)\to\infty$ significa? Qué significa $|f(z)|\to \infty$? También, he aprendido sobre el punto uno compactification $\infty$ a del plano complejo. Así que la razón por la que escribo $z\to\infty$ en lugar de $|z|\to \infty$ es porque nos estamos refiriendo a $\infty$ como un punto en el plano complejo extendido $\bar{\mathbb{C}}$? Por lo $f(z)\to\infty$ se refiere también a $\infty$ en $\bar{\mathbb{C}}$?

Answer 1

Las sutilezas de la compactación de un punto de $\Bbb C$ aparte, considere:

$f(z) \ne w, \; \forall z \in \Bbb C; \tag 1$

$f(z) - w \ne 0, \; \forall z \in \Bbb C; \tag 2$

$(f(z) - w)^{-1}$ es entonces completo; ya que

$f(z) \to \infty \; \text{as} \; z \to \infty \tag 3$

$(f(z) - w)^{-1}$ está delimitado; De ahí, por el teorema de Liouville, constante; pero entonces no podemos tener (3); por lo tanto (1) falla.

Answer 2

La declaración de $\lim_{z\to\infty}f(z)=\infty$ medio $|f(z)|\to \infty$ como $|z|\to\infty$. Puede ser visto como el proceso de convergencia a $\infty \in\Bbb C_\infty$ donde $\Bbb C_\infty$ es un punto de compactification de $\Bbb C$. De hecho, esta propiedad implica que $f(z)=p(z)$ para algunos no constante polinomio $p$. Por el teorema fundamental del álgebra, de la siguiente manera $f(\Bbb C)=\Bbb C$. Para ver esto, vamos a $ g(z)=f(\frac1{z}) $ for $z\ne 0$. Since $\lim_{z\to 0}|g(z)|=\infty$ (which is true because as $z\a 0$, $1/z \to \infty$ and $g(z)=f(1/z)\to\infty$ by the assumption), it follows that $g$ has an $n$-th pole at $0$, i.e. for some $n\ge 1$, $a_ {n}\ne 0$ and for all $z\ne 0$, $$ g(z)=\sum_{k=-n}^\infty a_kz^k. $$ (Here, $g$ having a pole is a classical result. Since $1/g$ tends to $0$ as $z\a 0$, it has a removable singularity at $0$, which is also an $n$-th zero. It follows $1/g(z)=z^nh(z)$ for some $h\ne 0$ on a neighborhood of $0$. So $g(z) = z^{-n}\frac1{h(z)}$ has an $n$-th pole.) Thus $f(z)=g(\frac1{z})=\sum_{k=0}^n a_{-k}z^k +\sum_{i>0}a_{i}z^{-i}$, and since $f$ is entire, it follows $$f(z)=\sum_{k=0}^n a_{-k}z^k=p(z).$$

Answer 3

Deje $g(z):=f(1/z)$ para $z \ne 0$. A continuación, $g$ tiene al $0$ aislado de la singularidad. Desde $g(z) \to \infty$ como $z \to 0$, $g$ tiene un polo en $0$.

Deje $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$, luego los de Laurent de expansión de $g$ a $0$ está dado por

$g(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n \frac{1}{z^n}$, lo cual muestra que es $m$ tal que $a_n=0$ para $n>m$.

Por lo tanto $f$ no es una constante poynomial. Ahora usar el teorema fundamental del álgebra.