El número de formas de elegir con parámetros.

Question

A nuestra disposición es una colección de $10$ rojo, $11$ azul y $12$ amarillo telas. (cada tejido es único) De cuántas maneras podemos escoger $4$ telas diferentes, si queremos que al menos una tela de cada uno de los tres colores?

Mi solución fue desde el primer tejido elegido debe ser de color rojo, hay $10$ opciones para ello. A continuación, el siguiente de la tela debe ser de color azul, que ha $11$ opciones. La tercera tela es de color amarillo, con $12$ opciones, y el último de la tela puede ser cualquiera de los colores, siempre que no haya sido elegido, por lo que hay $(9+10+11-3)= 30$ maneras de elegir la última, por lo que el número total de opciones $9\cdot 10\cdot 11\cdot 30$.

Mi profesor dijo que yo necesitaba divide por $2$ para llegar a la respuesta correcta, pero yo no entiendo por qué. Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Porque bajo su esquema usted contaría, por ejemplo, ambos $$R1,B1,Y1,R2\quad\hbox{and}\quad R2,B1,Y1,R1\ .$ $ Pero en realidad son la misma opción y, por lo tanto, no se deben contar dos veces.

Answer 2

El número total de formas es $\binom {10} {2} \binom {11} {1} \binom {12} {1} + \binom {10} {1} \binom {11} {2} \binom {12} {1} + \binom {10} {1} \binom {11} {1} \binom {12} {2} = 19800.$