Encontrar la distancia más corta desde un punto en una elipse hasta el foco de la elipse.

Question

 

Encuentra el punto $(x,y)$ en la elipse $b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2$ tal que la distancia al foco $(c,0)$ sea mínima.

En mi libro, obtuve esta sugerencia que decía que expresara la distancia como una función de $x$ y trabajara el problema y luego expresara la distancia como una función de $y$ y trabajara el problema.

Así que intenté resolverlo:

$$x^2 = \frac{a^2b^2 - a^2y^2}{b^2}$$ $$y^2 = \frac{a^2b^2 - b^2x^2}{a^2}$$

Ahora, escribo la función de distancia:

$$d = \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$

Luego, expreso la función de distancia como una función de x:

$$d = \sqrt{(x-c)^2 + \frac{a^2b^2 - b^2x^2}{a^2}}$$

Luego, tomé la derivada con respecto a $x$:

$$d' = 2x - 2c - \frac{2b^2}{a^2}$$

Ahora, hice lo que el libro me dijo, y expresé la función de distancia como una función de y:

$$d' = -\frac{2a^2}{b^2} + \frac{4a^2c}{bx} + 2y$$

Intenté igualar ambas derivadas a cero e intenté resolver, pero realmente no pude descifrar qué hacer (mi álgebra es pobre).

Se agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Editar: Necesito una solución de cálculo (estoy trabajando desde un libro de cálculo).

Answer 1

Dado que la distancia focal $ = e \times$ distancia a la directriz ($e=$ excentricidad = $\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$), solo necesitamos localizar los puntos en la elipse que están más cerca de una directriz y esos serían los puntos finales correspondientes del eje mayor en este caso $(a,0)$

Answer 2

Suponiendo $a>b$, tenemos $c=\sqrt{a^2-b^2}$.

Usando las ecuaciones paramétricas

$$\begin{cases}x=a\cos\theta,\\y=b\sin\theta\end{cases}$$

minimizamos

$$(a\cos\theta-c)^2+(b\sin\theta)^2.$$

La derivada de esta expresión es

$$-a\sin\theta(a\cos\theta-c)+b\cos\theta(b\sin\theta).$$

Existe una raíz para $$\sin\theta=0$$ (en el eje mayor) y para

$$(a^2-b^2)\cos\theta=ac,$$ o

$$\cos\theta=\frac a{\sqrt{a^2-b^2}}>1 (!).$$

Por lo tanto,

$$d=a-\sqrt{a^2-b^2}.$$

Answer 3

La pista.

Necesitamos encontrar los valores de $d>0$, para los cuales el sistema $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ y $$(x-c)^2+y^2=d^2$$ tiene soluciones.

Obtenemos: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{d^2-(x-c)^2}{b^2}=1$$ o $$\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)x^2+\frac{2cx}{b^2}+\frac{d^2-c^2}{b^2}-1=0$$ o $$-\frac{c^2x^2}{a^2b^2}+\frac{2cx}{b^2}+\frac{d^2-a^2}{b^2}=0$$ o $$c^2x^2-2ca^2x+a^2(a^2-d^2)=0$$ o $$(cx-a^2)^2=a^2d^2,$$ lo cual da $$x=\frac{a^2+ad}{c},$$ lo cual es imposible o $$x=\frac{a^2-ad}{c}.$$ Ahora, necesitamos que la ecuación $$\frac{\left(\frac{a^2-ad}{c}\right)^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ tenga raíces reales para lo cual necesitamos $$1-\frac{\left(\frac{a^2-ad}{c}\right)^2}{a^2}\geq0$$ o $$c^2-(a-d)^2\geq0,$$ lo cual da $$a-c\leq d\leq a+c.$$ Es decir, $d\geq a-c$.

La igualdad ocurre para el punto $(a,0)$ en la elipse, lo cual indica que $a-c$ es la respuesta.

Otra forma.

Sea $F_1(c,0)$, $F_2(-c,0)$, $A(a,0)$ y sea $M(x,y)$ un punto en la elipse.

Por lo tanto, $$MF_1+MF_2=2a$$ y por la desigualdad del triángulo $$MF_1+F_1F_2\geq MF_2$$ o $$2MF_1+F_1F_2\geq MF_1+MF_2$$ o $$2MF_1+2c\geq2a,$$ lo cual da $$MF_1\geq a-c.$$ La igualdad ocurre cuando $M\equiv A$, lo cual indica que $a-c$ es el valor mínimo.