Demuestre que$C^{\infty}_b(\mathbb{R}^{n})$ es denso en$C_{b}(\mathbb{R}^{n})$ usando funciones genéricas.

Question

Vamos $$C^{\infty}_b(\mathbb{R}^{n}) = \{f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} \mid f\text{ is smooth and } \Vert f \Vert_{\infty} < \infty\},$$ $$C_{b}(\mathbb{R}^{n}) = \{f:\mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}\mid f\text{ is continuous and bounded}\}.$$

Quiero demostrar que la $C^{\infty}_b(\mathbb{R}^{n})$ es denso en $C_{b}(\mathbb{R}^{n})$.

Las pruebas de que sé que son totalmente constructiva, me explico: las pruebas de uso explícito de la función definida por partes.

Quiero saber si es posible demostrar este resultado con el uso de las funciones genéricas (genérica de la función de paso) o, al menos, una fuerte teorema.

Answer 1

Si $f$ es uniformemente continua, entonces deje $\phi \in C^\infty_c, \int \phi=1,\phi_k(x) =k^n \phi(kx)$ tendrás $f \ast \phi_k \to f$ uniforme ($*$ de convolución).

Si $f$ sólo es continuo, a continuación, dividir en $f=\sum_{m\in \mathbb{Z}^n} f_m$ donde $ f_m = f \prod_{j=1}^n (1-|x_j-m_j|) 1_{x_j-m_j\in [-1,1]}$ y mirar a $\sum_m f_m \ast \phi_{e_{m,k}}$ donde $e_{m,k}$ es lo suficientemente grande tal que $ \sup_{|x-y| < 1/e_{m,k}} |f_m(x)-f_m(y)| < 1/k$

Answer 2

Hay un fuerte resultado aquí: Supongamos $f$ es continua en a$\mathbb R^n.$ Deje $\epsilon>0.$ Entonces existe $g\in C^\infty(\mathbb R^n )$ tal que $|f(x)-g(x)|<\epsilon$ para todos los $x\in \mathbb R^n.$

La prueba de $n=1:$ Supongamos primero que $f(k)=0$ para todos los $k\in \mathbb Z.$ Deje $I_k=[k,k+1].$ , a Continuación, por Weierstrass, no es un polinomio $p_k$ tal que $|f-p_k|<\epsilon/2$ a $I_k.$ Porque $f=0$ al final de puntos, no es $\delta_k>0$ tal que $|f|+|p_k|<\epsilon$ en $[k,k+\delta_k] \cup [(k+1)-\delta_k,k+1].$

Ahora encontrar $g_k\in C^\infty(\mathbb R)$ tales que i) el apoyo de $g_k$ es $I_k$, ii) $0\le g_k\le 1$ todas partes, y $g_k=1$ a $[k+\delta_k,(k+1)-\delta_k].$ Verificar que $|f-g_kp_k|<\epsilon$ a $I_k.$

La cosa agradable sobre $g_kp_k$ es que todos los derivados de la igualdad de $0$ en los extremos de $I_k.$ por Lo tanto el $g_kp_k$ pegar muy bien juntos para formar una función de $g=\sum_{k\in \mathbb Z}g_kp_k$ en $C^\infty(\mathbb R).$ entonces Tenemos $|f-g|<\epsilon$ todas partes. Esta es la conclusión deseada para un $f.$

Para obtener el máximo resultado, para cada una de las $k$ definir un golpe función de $b_k\in C^\infty(\mathbb R )$ cuyo apoyo es un pequeño intervalo que contiene a$k,$ con $b_k(k) = f(k).$ La función de $b=\sum_{k\in \mathbb Z}b_k$ es, a continuación, en $C^\infty(\mathbb R ),$ e $f-b=0$ en todos los números enteros. Podemos entonces aplicar lo anterior a $f-b$ y esto da el resultado de $f.$

Añadió más tarde Si $n>1$ podemos hacer algo similar. Para $k=1,2,\dots$ deje $A_k$ ser el anular de la región de $\{k-1\le |x|\le k\},$ y deje $S_k$ ser la esfera $\{|x|= k\}.$ En el primer asumimos $|f|<\epsilon$ en cada una de las $S_k.$ Luego de las ideas para el $n=1$ a prueba de trabajo prácticamente el mismo, con la $A_k$ sustitución de la $I_k$ e las $S_k$ sustitución de los extremos. También podríamos usar Stone-Weierstrass en lugar de sólo de Weierstrass.

Para llegar a la $|f|<\epsilon$ asunción, seleccione "anular" bump funciones de $b_k$ admite muy cerca de $S_k,$ con $b_k=1$ a $S_k.$ Por SW, existen polinomios $p_k$ tal que $|f-p_k|<\epsilon$ a $S_k.$ entonces Tenemos $|f-\sum_k b_kp_k|<\epsilon$ en cada una de las $S_j$ como se desee.