Entendiendo el$p$ - parte del discriminante de un campo de número totalmente real con un solo primo por encima de$p$

Question

Deje $K$ ser totalmente real Galois campo de número, y supongamos que sólo hay una prime por encima de $p$, con índice de ramificación $\leq p-1$. Si $K_p$ es la culminación de $K$ en el prime por encima de $p$, el reclamo es que el $p$-parte de el discriminante de $K$ es igual a la discriminante de $K_p$.

Me encontré con este, mientras que la lectura de Washington " Introducción a Cyclotomic de los Campos, donde se menciona en la prueba de la Proposición 5.33 que "la $p$-parte de el discriminante de $K$ es igual a la discriminante de $K_p$', donde el conjunto es como se describe anteriormente. No es claro para mí cómo las bases para $\mathcal O_K$ e $\mathcal O_{K_p}$ están relacionados, así que estoy un poco inseguro acerca de cómo dar sentido a este. He tratado de explicar esto un poco mirando el ejemplo de que la $K=\mathbb Q(\zeta_p)^+$ es la máxima real subcampo de $\mathbb Q(\zeta_p)$, en cuyo caso $(p)=(1-\zeta_p)^{p-1}$ es totalmente ramificado en $\mathbb Q(\zeta_p)$, lo $K$ satisface las hipótesis. Pero incluso en este ejemplo, estoy teniendo un momento difícil en realidad la computación de la correspondiente discriminantes, y no digamos la comprensión de este en general...

Answer 1

Deje $\mathfrak{p}$ ser la prime por encima de $p$, $G = \text{Gal}(K/\mathbb{Q}), G_\mathfrak{p} = \text{Gal}(K_\mathfrak{p}/\mathbb{Q}_p)$, tenga en cuenta que $G_\mathfrak{p} \hookrightarrow G$.

La asunción de ramificación índice $e\leq p-1$ dice que el (versión global) de la primera ramificación del grupo $G_1$ es trivial: $$G_1 = \{\sigma\in G| v_\mathfrak{p} (\sigma(x)-x)\geq1 \quad \forall x\in \mathcal{O}_K\} = \{1\}$$ esto implica la versión local es también trivial desde $G_\mathfrak{p} \hookrightarrow G$.

Por lo tanto, $p$ está confiando inocentemente se ramifica en tanto $K$ e $K_\mathfrak{p}$, $p$-parte de su discriminante son tanto $f(e-1)$, $f$ el grado de inercia. (Tenga en cuenta que hemos utilizado el supuesto de que existe, es sólo un primer acostado encima de $p$)