Encuentre todos los números naturales$n \geq 3 $ de manera tal que si la matriz$A$ tiene ciertas propiedades (por ejemplo,$A^n = I$) entonces$A = CBC^{-1}$

Question

Encontrar todos los números naturales $n \geq 3 $ tal forma que:

si: $A$ es $2 \times 2$ matriz con coeficientes reales $\land \space A^n = I \land \space A^j \neq I$ para $ 0 <j <n$,

entonces: hay invertible matrices $B$ e $C$ que $A = CBC^{-1}$ y \begin{equation} B = \begin{bmatrix}\cos\space t & \sin \space t \\-\sin \space t & \cos \space t \end{bmatrix} \end{equation}

por cierto $t \in \Bbb R $

No estoy realmente seguro de cómo abordar dicho problema. Supongo que uno se supone que el uso de las propiedades de los determinantes y el hecho de que

$detB = $cos$^2(t)+$pecado$^2(t)=1 $

Answer 1

Vamos a empezar por calcular el $A^k$. Por nuestra identidad $A=CBC^{-1}$, podemos concluir que $$A^k=(CBC^{-1})\cdots(CBC^{-1})=CB(C^{-1}C)B(C^{-1}C)\cdots(C^{-1}C)BC^{-1}=CB^kC^{-1}.$$ If $A^n=CB^nC^{-1}=I$, we can bring $C,C^{-1}$ to the right site to deduce $B^n=1$. Moreover, if $^k\neq yo$, then $$I\neq A^k=CB^kC^{-1}\Longrightarrow I=C^{-1}C\neq C^{-1}A^kC=B.$$ To sum up, we may equivalently ask for the existence of $t\in \mathbb R$ such that $B=B(t)$ satisfies $B^n=I$, $B^k\neq I$ for $k<n$.

Hay muchas maneras de encontrar los valores de $t$, aquí hay uno que me gusta especialmente: La matriz $B(t)$ corresponde a la número complejo $\cos(t)+i\sin(t)=\exp(it)$ que tiene duración de un (básicamente por la fórmula indicada). Así que la cuestión es encontrar una $n$-ésima raíz de la unidad en la $\mathbb C$. Estas raíces son bien conocidos por ser $$\zeta_n=\exp\left(\frac{2\pi i}{n}\right)=\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right).$$ Each $\zeta_n$ has the property that $\zeta_n^n=1$ but $\zeta_n^k\neq 1$ for $k<n$.
En consecuencia, si dejas $t=\frac{2\pi}{n}$, su matriz $B$ hace el trabajo y se proporciona un ejemplo de este tipo de matriz $A$ eligiendo $C=I$. Tenga en cuenta que incluso conocemos $B^k$ en este caso: Desde $\zeta_n^k=\exp\left(\frac{2k\pi i}{n}\right),$ $$B^k=\begin{pmatrix}\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)&\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\\ -\sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right) &\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\end{pmatrix}.$$

Déjeme saber si usted tiene alguna pregunta.

EDIT acabo de ver que había un malentendido de la pregunta. Lo que me mostró es que siempre existe una matriz de $A$ con las supuestas propiedades que es similar a una matriz de $B$. Sin embargo, la pregunta era si cada matriz con estas propiedades es similar a una matriz de $B$. Así que permítanme también la dirección de este.

Si $A^k=I$, a continuación, $\det(A^k)=\det(A)^k=\det(I)=1$. Ahora vamos a $\lambda_1,\lambda_2$ indican que los valores propios de a$A$. A continuación, $\det(A)^n=(\lambda_1\lambda_2)^n=1$. Distingamos por la paridad de $n$. Si $n$ es impar, se deduce que el $\lambda_1\lambda_2=1$. Si $n$ es incluso, se deduce que el $\lambda_1\lambda_2\in\{-1,1\}$.
Ahora si $A$ es similar a un $B$, se necesita tener los mismos autovalores y ya sabemos cómo un $B$ similar a $A$ tendría que ser similar. Dado que el determinante de a$B$ es $$\det(B)=\cos(t)^2+\sin(t)^2=(\cos(t)+i\sin(t))(\cos(t)-i\sin(t))=1,\; t=\frac{2\pi}{n},$$ as soon as we choose such an $Un$ with $\lambda_1\lambda_2=-1$, it cannot be similar to such a matrix $B$. (Es simple para escribir ejemplos, si no puedes me avisas y voy a hacerlo).

Vamos ahora a suponer que $\lambda_1\lambda_2=1$. Mediante el uso de coordenadas polares en $\mathbb C$, $\lambda_1=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ e $\lambda_2=\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ para algunos $\theta\in (0,2\pi]$. Ahora hay un resultado en álgebra lineal, indicándole que encontrar un cambio de base tal que $A$ se convierte en $$\begin{pmatrix}\cos(\theta)&\sin(\theta)\\ -\sin(\theta)& \cos(\theta)\end{pmatrix},$$ you can find it for example on wikipedia. This proves that if $\det(A)=1$, then it is indeed similar to such a matrix $B$. My original answer now even tells you what $\theta$ obtendrá.

Answer 2

Sugerencia Si $A^n = I$, cada autovalor $\lambda$ de $A$ debe satisfacer $\lambda^n = 1$, de modo que podemos escribir $\lambda = e^{2 k \pi i / n}$ para algunos entero $k$. Si ambos valores propios de a$A$ se $\pm 1$, a continuación, $A^2 = I$, que, desde el $n \geq 3$, es excluido por la condición de que $A^j \neq I$ para $0 < j < n$. Así, $A$ tiene un nonreal autovalor, y desde $A$ es real, el otro autovalor debe ser, por tanto, su conjugado. Por lo que sus valores propios son $e^{\pm 2 k \pi i / n} = \cos \frac{2 k \pi}{n} \pm i \sin \frac{2 k \pi}{n}$ para algunos entero $k$ no es un múltiplo de a$n / 2$. (De hecho, la condición de que $A^j \neq I$ para $0 < j < n$ implica que $k$ e $n$ son coprime.)

Por otro lado, los autovalores de a$B$ se $\cos t \pm i \sin t$.