¿Está este operador de multiplicación limitado por esta norma especial?

Question

Considere la posibilidad de $L_2[0,1]$ con la habitual producto interior $\langle f, g \rangle = \int_{0}^1 f(t)g(t) \, dt$ y definir una nueva norma

$$ \| f \|^2_{\star} = \sum_{i=1}^\infty \langle f, \phi_i\rangle^2 \lambda_i $$

donde $\phi_1, \phi_2, \ldots$ son ortonormales base para $L_2[0,1]$ y $\lambda_n$ es una secuencia de no aumentar postitive números de tal manera que $\sum_{i=1}^\infty \lambda_i < \infty$.

Para algunos $0<c<1$ la función del indicador de $I_{[0,c]}(t)$ y definir el operador $T : L_2 \to L_2$ tal que $T(f) = f I_{[0,c]}$

Sea T un operador acotado en virtud de $\| \|_{\star}$? (No existe $M >0$ tal que $ \| T(f) \|_{\star} \leq M \|f\|_{\star}$.

He tratado de delimitación $\langle f I_{[0,c]} , \phi_i \rangle^2 = (\int_{0}^c f(t) \phi_i(t) \, dt )^2$ por cada $i$ , pero fracasó.

Answer 1

La respuesta depende de la base $\phi_n$ y su relación con el operador $I_{[0,c]}$. Permite construir un ejemplo donde no funciona.

Primera nota de que $I_{[0,c]}$ es un uno mismo-adjoint de proyección con infinitas dimensiones de la imagen y el núcleo. Deje $e_k$ ser un ONB de la imagen y $\widetilde e_k$ un ONB del kernel.

$\sigma:\Bbb N\to \Bbb N$ será un bijection que vamos a describir más adelante. Deje $\phi_{2k}=\frac{e_{\sigma(k)}+\widetilde{e_{\sigma(k)}}}{\sqrt 2}$ e $\phi_{2k+1}=\frac{e_k-\widetilde{e_{k}}}{\sqrt 2}$, $\lambda_{2k}=2^{-k}=\lambda_{2k+1}$.

Ahora vamos a $f=\frac{e_k+\widetilde{e_k}}{\sqrt 2}$. Usted tiene $$\|f\|_{\star}^2=2^{-\sigma^{-1}(k)},\quad I_{[0,c]}f = \frac{e_k}{\sqrt 2}=\frac{\phi_{2\sigma^{-1}(k)}+\phi_{2k+1}}2,\quad \|I_{[0,c]}f\|_\star^2=2^{-\sigma^{-1}(k)-1}(1+2^{\sigma^{-1}(k)-k}).$$

Si existe alguna permutación de $\Bbb N$ , de modo que la diferencia de $\sigma^{-1}(k)-k$ pueden ser arbitrariamente grandes que se hacen. Es elemental para definir una permutación.

Por otro lado, si el $\phi_n$ todos o bien se encuentran en la imagen o en el núcleo de $I_{[0,c]}$, es simple comprobar que $I_{[0,c]}$ es un operador acotado de norma $1$.