Determinar eficientemente (a mano) los principales ideales primarios que se encuentran sobre un primo dado en$\Bbb Z$. $\Bbb{Q}(\sqrt{5})$.

Question

Deje $K=\Bbb{Q}(\sqrt{5})$ y considerar el anillo de enteros $\Bbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right] = \mathcal{O}_K\subset K$.

Quiero determina explícitamente el primer ideales de $\mathcal{O}_K$ sobre $11\Bbb Z$. Considerando el polinomio mínimo $x^2-x-1$ de $(1+\sqrt{5})/2$ modulo $11$ me parece: $$x^2-x-1\equiv (x+7)(x+3)\pmod{11}.$$ This tells me that the ideals over $11\Bbb Z$ are $\langle 11, x + 7 \rangle, \langle 11, x + 3 \rangle$, with $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

I. e. los ideales son a$$\left\langle 11, \frac{7 + \sqrt{5}}{2} \right\rangle \text{ and } \left\langle 11, \frac{15 + \sqrt{5}}{2} \right\rangle.$$

Sé que esto $K$ tiene clase número $1$, es decir, $\mathcal{O}_K$ es un PID. Con esto en mente, me gustaría saber lo único generador genera estos dos ideales más de $11\Bbb Z$.

Está claro que $\left\langle 11, \frac{7 + \sqrt{5}}{2} \right\rangle = \left\langle 11, \frac{15 + \sqrt{5}}{2} \right\rangle$. Pero no puedo ver por qué el segundo sería generado por $\frac{15+\sqrt{5}}{2}$ si esto es así.

Además, desde que estos son los principales ideales, yo debería ser capaz de encontrar un generador de $\alpha$ de este ideal tal que $\left\langle \frac{7 + \sqrt{5}}{2} \right\rangle \langle \alpha \rangle = \langle 11 \rangle$. Esto me lleva a creer que la segunda es: $$\left\langle 11, \frac{15 + \sqrt{5}}{2} \right\rangle = \left\langle \frac{-7 + \sqrt{5}}{2} \right\rangle.$$

(Después de ver esto, uno puede ver que sólo podía restar $11$ de $\frac{15+\sqrt{5}}{2}$ en el segundo ideal, pero la retrospectiva es $\sim20/4$)

Pregunta: existe un procedimiento más rápido para encontrar los principales primer ideales mentir sobre algunos $p\Bbb Z$ explícitamente? (Dicen que en el no ramificado, no inertes caso, y para una ecuación cuadrática número de campo, este o cualquier otro).

Answer 1

Sí, existe, y que requiere ser un poco menos preocupado por la mitad de $1 + \sqrt d$.

Dada la proporción áurea $$\phi = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt 5}{2},$$ we see that $(4 - \phi)(3 + \phi) = 11$. Pero que confunde los seres humanos, que es la razón por la que me gusta.

Debido a sus limitaciones humanas, es mejor ignorar a la mitad "enteros" y la infinidad de unidades, y en lugar de comprometerse a la memoria la siguiente fórmula: si $\gcd(p, d) = 1$ y se puede resolver $x^2 \equiv d \pmod p$, a continuación, $\langle p \rangle = \langle p, x - \sqrt d \rangle \langle p, x + \sqrt d \rangle$.

Así, en el ejemplo, usted tiene $p = 11$ e $d = 5$. A continuación, $4^2 = 16 \equiv 5 \pmod{11}$, y por lo $\langle 11 \rangle = \langle 11, 4 - \sqrt 5 \rangle \langle 11, 4 + \sqrt 5 \rangle$. Pero desde $(4 - \sqrt 5)(4 + \sqrt 5) = 11$, $11$'s en el mejor de los generadores de llegar a ser redundante, y por tanto, $\langle 11 \rangle = \langle 4 - \sqrt 5 \rangle \langle 4 + \sqrt 5 \rangle$.