Estructuras complejas en$TM$ y$T^*M$

Question

Hay que ir. Estoy haciendo esta pregunta a conocer las diferentes estructuras complejas pueden ser definidos en $TM$ e $T^*M$ (no me importa porque mi colector será Kähler).

Sé que hay otras cuestiones relacionadas, por ejemplo aquellos en MO (el ex de la cites el último) y también a otros en M. SÍ, aunque no puedo encontrarlos. Sin embargo, ninguno de ellos aclarar mis dudas.

Supongamos $M$ es un colector. Es bien sabido que $T^*M$ es un simpléctica colector de una manera natural. Parece que no sucede si estamos interesados en estructuras complejas, es decir, $T^*M$ no es un (casi) complejo colector de una manera natural.

Ahora, supongamos que el $M$ es un colector de Riemann. Róbert Szöke, en su papel de estructuras Complejas en tangente paquetes de Riemann colectores (usted debe ser capaz de encontrar el papel aquí) dice que hay un complejo natural de la estructura en $TM$. Es decir, que la métrica da lugar a una suma directa de descomposición del paquete $T(TM)$ en el vertical y el horizontal subbsendles, así que para cualquier $p\in TM$ tenemos el isomorfismo $T_p(TM)\cong T_{\pi(p)}M\oplus T_{\pi(p)}M$.

Pregunta 1. Im " no estoy seguro de la métrica darle esa división. Supongo que la división es en realidad determinada por la de Levi-Civita de conexión asociados con la métrica de Riemann de $M$. Estoy en lo cierto?

Además, imagina que $M$ también es compleja (en mi caso va a ser Kähler). Si $J$ es la compleja estructura en $M$, he comprobado que el $TJ$ (el diferencial mapa de $J$) es casi una compleja estructura en $TM$. No sé si será integrable, debe ser, aunque (justicia poética).

Pregunta 2. No puedo encontrar la pregunta aquí, en M. SÍ, pero no, no era un comentario diciendo que si $M$ es complejo, $T^*M$ es demasiado. Es $TJ$ la compleja estructura que la persona a que se refiere? O podemos definir (en más o menos de forma natural) otras estructuras complejas, el uso de $J$? En ese caso, ¿importa si considero $TM$ o $T*M$, suposseing $M$ es todavía de Riemann?

Permítanme añadir un poco de contexto para mi pregunta. Quiero reproducir Hitchin del resultado sobre el c-Map pero la definición de todas las estructuras a nivel mundial. Porque él señala que es posible, pero él no probar el resultado y funciona sólo a nivel local.

Aquí es el papel que yo digo y aquí usted puede encontrar otro trabajo que el estudio de la c-map a nivel mundial en el lagange de los principales paquetes, lo que quiero evitar.

Answer 1

(1) Usted está en lo correcto que la casi compleja estructura $J : TTM \to TTM$ se deriva de la de Levi-Civita de conexión de la métrica determinada. Esta conexión puede ser visto como un caso particular de la distribución de $H \subset TTM$ complementaria a la distribución vertical $V := \ker T\pi$, donde $\pi : TM \to M$ es la proyección canónica. En particular, podemos definir la casi compleja estructura en $TTM = H \oplus V$ declarando $$J(X, Y) := (-Y, X) .$$ Esto también muestra que realmente la necesitan menos información que la que una métrica para definir esta casi compleja estructura: Todo lo que tenemos es una distribución $H$ complementarios a $V$, y podemos identificar dichos $H$ con una conexión directa $\nabla$ a $M$ y viceversa.

Como Dombrowski puntos en $\S$ 5 del artículo se mencionan a continuación, esta estructura compleja es integrable iff $\nabla$ es plana y sin torsiones. Así, para Levi-Civita conexiones (y como Szöke menciona) la compleja estructura es integrable iff $g$ es (localmente) plana, y, en particular, no es integrable para nonflat Kähler métricas.

(2) Para cualquier métrica, el índice de subida y bajada de los operadores de definir un isomorfismo canónico $TM \cong T^* M$, por lo que es suficiente para hacer las preguntas, por ejemplo, acerca de la $TM$.

Dombrowski, Pedro, "Sobre la Geometría de la Tangente Paquete," Journal für die reine und angewandte Mathematik 210 (1962): 73-88.