No puedo entender por qué funciona el muestreo de rechazo

Question

Quiero generar puntos de muestra $\{z_i\}$ en una forma 2D arbitraria, por ejemplo, un círculo centrado en el origen con radio 1. El muestreo de rechazo dice:

• Mira 2 variables aleatorias uniformes sobre $[0,1]$ , $X$ y $Y$ .
• Muestra $X$ y $Y$ , se obtiene $x$ y $y$ digamos.
• Pruebe si $x^2+y^2\leq 1$ :
  • en caso afirmativo, $z=(x,y)$ .
  • si no, muestra $X$ y $Y$ hasta que se cumpla la condición.

Por qué funciona esto, es decir, por qué simula el muestreo de una variable aleatoria $Z$ que se distribuye uniformemente en un disco?

Answer 1

En primer lugar, necesita su $x$ y $y$ distribuido entre $-1$ y $1$ ( $[0,1]$ te da un cuarto de círculo ya que sólo estás viendo $y \ge 0$ y $x \ge0$ ).

Entonces te das cuenta de que tienes dos listas de variables distribuidas aleatoriamente a lo largo del $X$ y $Y$ eje - dos líneas con una distribución aleatoria de puntos. Combínalas y tendrás un cuadrado de puntos distribuidos aleatoriamente.

A continuación, se rechazan los trozos del cuadrado que no se encuentran dentro de un círculo centrado en $(0,0)$ - de ahí que el $x^{2}+y^{2}\le1$ - y todos los puntos que satisfagan esta desigualdad estarán en el disco y, como los puntos del cuadrado estaban uniformemente distribuidos, también lo estarán los del disco.

Answer 2

En general, para muestrear de una distribución con densidad $f(x,y)$ sobre el apoyo $\mathcal{S}$ si se utiliza una distribución de la propuesta con densidad $h(x,y)$ necesitamos encontrar $M$ tal que

$$\sup_{(x,y) \in\mathcal{S}} \dfrac{f(x,y)}{h(x,y)} \leq M, $$

para que podamos aceptar un valor propuesto con probabilidad

$$\alpha = \dfrac{f(x,y)}{Mh(x,y)}\,. $$

Aceptar con $\alpha$ es equivalente a dibujar $U \sim U[0,1]$ y aceptando si $U < \alpha$ .

Doy por sentado que entiende esta premisa general del muestreo de rechazo. Así que en este ejemplo de sacar muestras del círculo usando una propuesta cuadrada uniforme,

$$f(x,y) = \dfrac{1}{\pi} \cdot I(\underbrace{x^2 + y^2 <1}_{=\mathcal{S}}) \quad \text{ and }\quad h(x,y) = \dfrac{1}{4} I(-1 < x,y < 1)\,. $$

En primer lugar, vamos a encontrar $M$ . En apoyo de $f$ ,

$$\sup_{x^2 + y^2 \leq 1} \dfrac{f(x,y)}{h(x,y)} = \sup_{x^2 + y^2 \leq 1} \dfrac{ I(x^2 + y^2 \leq 1)/ \pi}{1/4} = \dfrac{4}{\pi} := M\,. $$

Así que cualquier valor propuesto del cuadrado será esperado con probabilidad $$ \dfrac{f(x,y)}{M{h(x,y)}} = \dfrac{I(x^2 + y^2 \leq 1)/\pi}{M/{4}} = I(x^2 + y^2 \leq 1)\,.$$

Así que para cualquier valor propuesto en el apoyo de $f$ , $U\sim U[0,1]$ siempre será menor que $1$ , por lo que siempre aceptaremos. Por lo tanto, no es necesario tomar una muestra de un $U$ y siempre que el punto muestreado esté dentro del círculo, podemos aceptarlo directamente.

Answer 3

Has elegido cualquier punto en [0,1]x[0,1] con igual probabilidad. Luego has eliminado todos los que están fuera del círculo.

Esto no altera la probabilidad de ser seleccionado para cada punto individual dentro del círculo (es decir, cualquier punto dentro del círculo sigue teniendo la misma probabilidad de ser elegido que cualquier otro)