¿El dominio de$f(x)/g(x)$ puede ser mayor que el de$f(x)$ o$g(x)$?

Question

Considere las siguientes dos funciones:

$f(x) = \sqrt {4 - x^2};\;\{x : x \in \mathbb{R}, x \ge -2 \,\ \text{and} \ \, x \le 2\}$

$g(x) = \sqrt {1 + x};\;\{x : x \in \mathbb{R}, x \ge -1\}$

Dado que:

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{1+x}} = \sqrt{\frac{4-x^2}{1+x}}$$

Es el dominio de $\frac{f(x)}{g(x)}$ determinado por el primer paso o sólo la última?

Por ejemplo, ¿el dominio incluyen los $-3$?

Si el dominio está determinado por el primer paso, entonces la respuesta sería NO, ya que ambos $\sqrt{4-(-3)^2}$ e $\sqrt{1+(-3)}$ son imaginarios.

Sin embargo, si el dominio está determinado por el segundo paso, entonces la respuesta sería SÍ, porque $\sqrt{\frac{4-(-3)^2}{1+(-3)}} = \sqrt{\frac{-5}{-2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Esto sólo depende de su definición de la nueva función ( $h(x)$).

Si $h : x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}$ entonces el dominio de $h$ se limita a la intersección de los dominios de $g$ e $f$.

Si se define $h : x \mapsto \sqrt{\frac{4-x^2}{1+x}}$ entonces el dominio de $h$ puede ser mayor

Answer 2

Pregunta interesante. Como lo tienes configurado, la respuesta es no.

Deje $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, y asumir la $x$ estaba en el dominio de $h(x)$. A continuación, $h(x)$ existe, lo que significa por definición que $f(x)$ e $g(x)$ existen. Por lo $x$ está en el dominio de $f$ e $g$