$n\geq 2 $ tal que la ecuación$x^2-x+\hat2=\hat0$ tiene una solución única en$\mathbb Z_n$

Question

Encontrar $n\geq 2 $ tales que la ecuación de $x^2-x+\hat2=\hat0$ tiene una única solución en $\mathbb Z_n$.

He tratado de resolver de esta manera:

Deje $a$ ser su única solución. Vemos que $1-a$ es una solución demasiado, por lo $a=\hat1-a \Rightarrow \hat2a=\hat1$. Ahora hice una cosa que no estoy seguro de si eso es cierto, la escritura $a=\hat2^{-1}$. ($\hat2$ no es invertible en a$\mathbb Z_4$ por ejemplo)

$\hat2^{-2}-\hat2^{-1}+\hat2=\hat0 \ , \ \hat1-\hat2+\hat2^3=\hat0$ lo $n=7.$

Puede alguien decirme si esto es correcto?

Answer 1

Bien hecho.

Aquí hay una solución simple a lo largo de sus líneas.

$ \ small a ^ 2-a +2 \ equiv 0 \ implica 4a ^ 2-4a +8 \ equiv 0 \ implica (2a) ^ 2-2 \ cdot (2a) +8 \ equiv 0 = implica 1-2 +8 \ equiv 0 \ implica 7 \ equiv 0 $