Integral utilizando la teoría de grupos.

Question

Estoy tomando un primer curso de teoría de la representación y tratando de resolver un problema donde me piden el uso de teoría de grupos para integrar algo.

Dado el polinomio: $$ P(x,y) = ax^2 +bxy +cy^2 $$ considere la integral $$ \int_\Delta P(x,y)dxdy $$ donde $\Delta$ es un triángulo equilátero con su centroide en el origen y en uno de los vértices de la mentira en la $y$-eje. La pregunta a "descomponer $P(x,y)$ en representaciones irreducibles del grupo de simetría del triángulo y de identificar que desaparecen bajo la integral y los que no".

La idea de esta pregunta es integrar el polinomio usando la simetría, esto está muy bien, pero lo que no me queda claro es qué se entiende por "la descomposición de la $P$ en representaciones irreducibles" ya que no veo la manera de $P$ es una representación. Lo que he hecho es romper $P$ en partes que son simétricos o anti-simétrica con respecto a cierta simetría del dominio y el uso de la invariancia de la integral en virtud del cambio de variable. Mi pregunta es:

Lo que significa que la descomposición del polinomio?

PS: por favor, no dar soluciones para el problema en sí!

Answer 1

Escribir $V \cong \mathbb{R}^2$ para el avión. $V$ contiene un triángulo equilátero, y este triángulo tiene algunos finito grupo de simetría $G \leq \operatorname{GL}(V)$. Por ejemplo, un elemento de $G$ será rotación a la derecha por $120^\circ$. El grupo $G$ actúa sobre el espacio vectorial $V$ , por definición.

Ahora, vamos a $f(x, y)$ ser cualquier polinomio en dos variables. Ya en concreto, podemos tratar a $f$ (no lineal) de la función de $f: V \to \mathbb{R}$, esta realidad se define una acción del grupo de $G$ a $f$, a través de la fórmula de $(g \cdot f)(v) := f(g^{-1} v)$. Se puede comprobar que esta acción de hecho, da una representación de $G$ sobre el espacio vectorial de todas las dos de la variable de polinomios. Además, esta acción se conserva el grado de un polinomio homogéneo.

Deje $X$ denota el espacio vectorial de todos los grados-2 polinomios. Desde $X$ es finito-dimensional representación de $G$, se debe descomponer en isotypic componentes: $X = X_a \oplus X_b \oplus X_c$, donde $a, b, c$ indexar el isomorfismo clases de representaciones irreducibles de $G$. (Por ejemplo, $X_a$ será la suma de todos los subrepresentations isomorfo a la representación trivial). Desde su $P$ es un elemento de $X$, también debe romperse como $P = P_a + P_b + P_c$.