Suma de los elementos de un campo finito.

Question

Quiero mostrar que$\sum_{x\in \mathbb F_{q}}x^i=0$ si$q-1$ no divide$i$. Alguien me puede dar una pista?

Answer 1

Deje $F$ a ser el campo con $q$ elementos y deje $g$ ser un generador del grupo multiplicativo. Tenga en cuenta que para cualquier entero $n$ tenemos $g^n=1$ si y sólo si $q-1$ divide $n$ debido a que el orden de $g$$q-1$. Siguientes Daniel Fischer sugerencia, tenga en cuenta que $$g^{i}\sum_{k=1}^{q-1}{g^{ik}}=\sum_{k=1}^{q-1}{g^{i(k+1)}}=\sum_{k=2}^{q}{g^{ik}}=\sum_{k=1}^{q-1}{g^{ik}}$$ La igualdad tiene, porque el grupo es cíclico y todo lo que hemos hecho es permutada los elementos en la suma. Pero $F$ es un campo, y $g^i\neq 1$ porque $q-1$ no divide $i$. Sólo hay un elemento $x$ tal que para algún elemento $y\neq 1$ tenemos $yx=x$, y que es el único elemento que no podemos dividir por.