Así que el más abstracto de lo que está sucediendo aquí es que estamos definiendo campos vectoriales como las derivaciones en el colector. Suponga que tiene un conjunto de campos escalares $\mathcal S\subset(\mathcal M\to\mathbb R)$ sobre el múltiple de admisión que decidimos llamar "sin contratiempos". Para formalizar esta exigimos el cierre de $\mathcal S$ bajo $C^\infty(\mathbb R^n, \mathbb R)$ funciones, donde la interpretación de estos como $\mathcal S^n\to\mathcal S$ funciones es mediante la aplicación de ellos pointwise, $$f[s_1,~\dots s_n](p) = f\big(s_1(p), ~\dots s_n(p)\big),$$where $p$ is a point in the manifold $\mathcal M$. In particular $\sum_i s_i$ makes sense as $p\mapsto \sum_i s_i(p)$ and $s_1 s_2$ makes sense as $p \mapsto s_1(p)~s_2(p),$ but the point is that the closure applies to all smooth functions. This set $\mathcal S$ becomes the topology on the space, too: we say that a set is closed when it is the kernel (set of points mapped to zero) of a scalar field; we can prove that this is a valid closed-set topology via the above closure axiom. (This is why choosing $\mathcal S = \mathcal M\to\mathbb R$ es una mala idea, el trivial cierre axioma es agradable, pero usted consigue la topología discreta para el espacio.)
La definición de las derivaciones son que son los mapas de $\mathcal V \subset (\mathcal S\to\mathcal S)$ que obedecen a la de Leibniz de la ley. Deje $f_{(i)}$ denotar la derivada parcial de $f$ con respecto a su $i^\text{th}$ argumento, la celebración de sus otros argumentos constante: de modo que no tenemos necesidad de luchar con expresiones simbólicas. La generalización de la ley de Leibniz es que para todos los $V \in \mathcal V$, y para todos los $f\in C^\infty(\mathbb R^n, \mathbb R)$ tenemos $$V\big(f[s_1,~\dots s_n]\big) = \sum_{i=1}^n f_{(i)}[s_1,~\dots s_n]~Vs_i.$$tomamos esta definición porque es completamente coordinar agnóstico. Ni siquiera he definido lo que las coordenadas son , sin embargo, y sé que lo derivaciones.
Coordenadas
Pero la mejor intuición me puede dar usted por qué definir un módulo que corresponde estrechamente a lo que piensan como vectores proviene de la introducción de coordenadas, así que vamos a ello. La coordenada axioma dice que alrededor de cualquier punto de $p$ existe un conjunto abierto de puntos y un conjunto de $D$ campos escalares en $\mathcal S,$ llamémoslas $c_1, \dots c_D,$ que puede utilizarse para indicar los puntos en el juego aparte de uno al otro: y todos los demás campos escalares $s$ puede, en este conjunto abierto, ser representada como una de las $C^\infty(\mathbb R^D,\mathbb R)$ liso funciones aplicadas a la coordenada de campo.
Me dijo que esta iba a aclarar la conexión entre el Leibniz-lineal derivaciones $\mathcal V$ y el sentido común de un espacio vectorial. Aunque la derivación tiene un significado independiente de las coordenadas, cuando hacemos uso de estas coordenadas en la vecindad de un punto nos encontramos con que $$V(s) = V(s[c_1,~\dots c_D]) = \sum_{i=1}^D s_{(i)}[c_1,~\dots c_D]~V c_i.$$ Now if we look at the above we realize that on this open set the derivation is truly defined, in terms of what it does, by $D$ different smooth scalar field components $v_i = V c_i,$ and its entire action on the open set follows from those components. So locally we see that a derivation is isomorphic to a tuple $\mathcal S^D,$ y el único "extra" de las cosas que nos están imponiendo es que el campo de vectores tener un poco de "vida independiente" en todos los puntos.
Por lo que esta propiedad nos devuelve—o al menos para mí—de regreso a mi primer clase de álgebra lineal, donde me fueron un poco engañado por mi profesor de matemáticas, afirmando que "vamos a definir que un vector es simplemente una lista de números." Ahora es un vector de campo y en cada punto hay un barrio donde el vector de campo es una lista de escalar los campos, pero es lo más cerca que podemos llegar a que la estudiante de primer año en la universidad de definición. Pero hay otra cosa que ir de aquí, también.
Así que, dado que dos puntos cercanos a $p, p+\delta p$ y algunos escalares campo $s$ hay una pequeña variación $\delta s$ entre esos dos puntos, y la coordenada axioma nos permite escribir esto como $$\delta s = s\big(c_1(p+\delta p),~\dots c_D(p+\delta p)\big) - s\big(c_1(p),~\dots c_D(p)\big).$$ But to first order we're going to have that the coordinate fields are different by some small $\delta c_i$ and we'll get the expression $$\delta s = \sum_i \delta c_i~s_{(i)}[c_1,~\dots c_D](p).$$
Es un poco imprecisa, ya que ahora tenemos a "levantar" estos $\delta c_i$ a ser campos escalares (ahora son sólo números) e insistir en que el campo puede ser consistentemente extendido fuera de este conjunto abierto, pero: en cierto sentido, esta asamblea $\sum_i\delta c_i~s_{(i)}[c_1,~\dots c_D]$ es precisamente lo que queremos decir cuando decimos "vamos a mirar lo que sucede a nivel local cuando traducimos en el espacio en un cierto desplazamiento definido por estos $\delta c_i$." En este sentido, como una derivación es un "derivada direccional," y ya tiene una escala y una "dirección local" es un "vector" de la cantidad.
Ejemplo: trabajando en la $2$-esfera
Soy un firme creyente de que podemos aprender con ejemplos, así que voy a dar uno con estructura no trivial.
Así, por ejemplo, en el 2D en la esfera que es la frontera de la 3D de la unidad de pelota, $\mathcal M = \{(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$, un lugar natural es comenzar es con los campos escalares $x(p), y(p), z(p)$ que nos dan las coordenadas de un punto en esta pelota. Entonces decimos que la $\mathcal S$ es el buen funciones de $C^\infty(\mathbb R^3,\mathbb R),$ interpretado aquí como $f[x, y, z]$ nuestros tres de partida suave campos escalares.
Ahora llevamos el Polo Norte $N=(0,0,1)$ como punto y queremos coordenadas para distinguir los puntos cercanos. Me parece que podemos elegir el conjunto abierto a ser el hemisferio de todos los puntos del norte de la línea ecuatorial, y en este hemisferio $x, y$ son perfectamente buenos campos de coordenadas: ya que sólo se necesitan dos de ellos, sabemos que es una de 2 dimensiones múltiples; todos los demás campos son las funciones lisas $f^N(x, y) = f(x, y, \sqrt{1-x^2-y^2})$ en este conjunto abierto.
También puedo señalar que con la anterior definición de la aximuthal ángulo de $\theta$ es no un suave escalares del campo; no hay manera de conseguir que la discontinuidad entre el $\theta \to 0^+$ vs $\theta \to 2\pi^-$ resuelto con una función suave de $x, y, z$. (El ángulo polar $\phi$ está bien, siendo un arcotangente de $z$.) Pero todavía podemos pensar en estos campos como $f(\sin\phi~\cos\theta,~\sin\phi~\sin\theta,~\cos\phi)$ y tomamos la derivada con respecto al $\theta$ participación $\phi$ constante a través de la regla de la cadena, $$f \mapsto -f_{(1)}(\dots)~\sin\phi\sin\theta + f_{(2)}(\dots)~\sin\phi\cos\theta.$$ Substituting in we have $V\big(f[x, y, z]\big) = -y~f_{(1)}[x, y, z] + x~f_{(2)}[x,y,z]$ and that is a perfectly valid derivation: $\partial/\partial\theta$ is a derivation even though $\theta$ no es un suave escalares del campo.
La acción de la $\partial/\partial\theta$ en algunas de las "coordinatized" $f^N$ por el contrario se ve dauntingly complicado al principio: los únicos argumentos que aquí se $x$ $y$ e intrínsecamente, por tanto, no podemos dejar de estos derivados $f_{(3)}$ a la de a través de la regla de la cadena. Observe que $f_{(3)}$ más, ciertamente, no vienen de arriba, así que esto generaría un verdadero matemático incoherencia! Pero recuerda lo que he dicho anteriormente: todo lo que necesita hacer para obtener la acción de la $V=\partial/\partial\theta$ en este conjunto abierto que contiene a $N$ es averiguar $V c_{1,2}.$ sabemos que $V x = -y$ y sabemos que $V y = x$, por lo que la respuesta; la operación en $f^N$ es $$V\big( f^N[x, y]\big) = -y~ f^N_{(1)}[x, y] + x~ f^N_{(2)}[x, y].$$Then we can both see why my concerns about $f_{(3)}$ are immaterial: if we expand this in terms of $f$ we find $-yx f_{(3)} + x yf_{(3)}$ which cancel out. The component fields $-y(p), x(p)$ really are everything we need to know about this derivative $\partial_\theta$ en el hemisferio norte: y que especificar en cualquier punto de una "dirección local", que se convierte esto en una derivada direccional.
Menor punto de completar la teoría de la
La única cosa que queda es sólo para definir ese $\nabla s = V \mapsto V s.$
En palabras, ahora que estamos diciendo que las derivaciones son lo que queremos decir cuando hablamos de "campos vectoriales", nos volvemos muy interesado en el covector campos de $\bar{\mathcal V}$: estos son los lineales de los mapas de campos vectoriales de vuelta a campos escalares. Una $[m, n]$-tensor será entonces una aplicación multilineales $(\bar{\mathcal V}^m, \mathcal V^n)\to\mathcal S$ $m$ covector campos y $n$ campos vectoriales a un campo escalar: pero vamos a postular como un axioma que todos los $[m, n]$-tensor puede ser representado como una lista limitada de tuplas de $m$ campos vectoriales y $n$ covector campos, con su acción sobre la especificada anteriormente campos básicamente se "tome cada tupla de $(\mathcal V^m, \bar{\mathcal V}^n)$, se aplican a los campos de entrada de $(\bar{\mathcal V}^m, \mathcal V^n)$ conseguir $m+n$ campos escalares $\mathcal S^{m+n},$ a continuación, se multiplican todos juntos en un campo escalar en $\mathcal S$. Hacer esto para cada tupla en la lista y, a continuación, suma más de la lista para obtener nuestro resultado final en $\mathcal S$." A partir de aquí podemos hablar de la métrica de los tensores y la orientación de los tensores.
Este es nuestro tensor de álgebra y podemos reconocer de inmediato que, dado un campo escalar $s$, se puede promover a un covector campo $\nabla s$ basado en la idea de que se necesita un campo de vectores $V$ y se aplica a $s$ para formar el campo escalar $V s.$
Una cosa que curiosamente no bien definido es la acción de $\nabla$ sobre un campo de vectores, lo cual es suficiente para definir a lo largo de todo el espacio del tensor de operaciones como esperamos que el Leibniz propiedades para guiar nuestro camino y sabemos lo $\nabla$ debe actuar en escalares. (Por ejemplo, la operación de $\nabla$ en covectors debe ser definido como $\nabla_\mu~u_\alpha =v^\alpha\mapsto \nabla_\mu(u_\alpha v^\alpha) - u_\alpha~\nabla_\mu v^\alpha;$ el lado derecho de la que sólo se aplica a $\nabla$ a un escalar y un vector). Pero resulta que esta opción de $\nabla$ es ambiguo hasta un $[1,2]$-tensor, y tenemos que postular cosas como $\nabla_\mu g_{\alpha\beta} = 0$ $\nabla_\mu\nabla_\nu - \nabla_\nu\nabla_\mu = 0$ a fin de definir de modo inequívoco, "de Levi-Civita de conexión", a través del espacio.
