Condiciones topológicas que implican no medibilidad

Question

Di una breve presentación sobre espacios de Baire, y uno de los resultados interesantes de la teoría que mostré es que un conjunto de Vitali no puede ser en ninguna parte denso. Esto me llevó a pensar que un subconjunto de los reales $A$ que cumple con:

• $A$ es incontable
• $A$ tiene frontera vacía
• $\overline{A}$ contiene un intervalo

no es medible en el sentido de Lebesgue. Sin embargo, después de reflexionar unos minutos más, se me ocurrió un contraejemplo con los racionales y el conjunto de Cantor.

Por lo tanto, mi pregunta es: ¿existen condiciones topológicas en un subconjunto de los reales que impliquen que no sea medible? Estoy consciente de que cada subconjunto medible de los reales está a una medida cero de ser un subconjunto $G_\delta$ o un subconjunto $F_\sigma$, pero esta condición no es puramente topológica.

Answer 1

Los conjuntos de Bernstein no pueden ser mensurables según Lebesgue. Tampoco pueden tener la propiedad de Baire, o la propiedad de conjunto perfecto (se construyen como un contraejemplo para esto último).

Recordemos que un conjunto de Bernstein es un conjunto que no contiene un conjunto perfecto, pero su intersección con cualquier conjunto perfecto no es vacía. Esto significa que atraviesa cada intervalo abierto, por lo que su cierre es el intervalo unitario, y que tiene un interior vacío y es de tamaño continuo.

Además, todo conjunto abierto $U$ que contenga un conjunto de Bernstein $B$ debe tener la propiedad $|[0,1]\setminus U|=\aleph_0$, de lo contrario $|[0,1]\setminus U|=2^{\aleph_0}$, y dado que es cerrado contiene un conjunto perfecto. En particular significa que $B\cap[0,1]\setminus U$ no está vacío, pero $B\subseteq U$ por lo que eso es imposible.

Por lo tanto, la medida exterior de un conjunto de Bernstein es $1$. Por otro lado, la medida interior de un conjunto de Bernstein es claramente $0$ porque cada subconjunto cerrado de un conjunto de Bernstein tiene que ser numerable, de lo contrario contendría un conjunto perfecto.

Por lo tanto, un conjunto de Bernstein no puede ser mensurable según Lebesgue.