Cálculo eficiente de la integral logarítmica con argumento complejo.

Question

La biblioteca de mi elección de teoría de números no implementa la integral logarítmica para valores complejos. Pensé que podría demorarme un poco en la codificación, pero pensé que primero pediría consejos y / o referencias algorítmicas. Estoy seguro de que hay mejores métodos que el cálculo ingenuo de la integral.

Answer 1

Para esta respuesta, estoy suponiendo que la definición de

$$\mathrm{li}(z):=\mathrm{PV}\int_0^z\frac{\mathrm{d}u}{\ln\;u}$$

donde se asume que el valor principal de Cauchy (la definición más común en la teoría de los números que tiene un límite inferior de 2 difiere sólo por una constante).

Bien, la primera cosa que tienes que tener en cuenta es la identidad

$$\mathrm{li}(z)=\mathrm{Ei}(\ln\;z)$$

donde $\mathrm{Ei}(z)$ es una integral exponencial. (De nuevo, repito mi consejo a las personas que encuentro extraño funciones: usted realmente hacer un buen control de la DLMF primera de las identidades y referencias.)

Ahora, $\mathrm{Ei}(z)$ es un poco más manejable de los beastie para evaluar numéricamente, ya que la singularidad en $z=0$ puede ser confinado a un logarítmica parte; a saber:

$\mathrm{Ei}(z)=\gamma+\ln\;z+\int_0^z \frac{\exp(u)-1}{u}\mathrm{d}u$

donde la última parte es una función completa.

Ahora, dependiendo de la mitad izquierda o derecha-los planos de la integral exponencial de ser evaluado, su estrategia será diferente (es un hecho común que la mayoría de las funciones especiales en las rutinas de polyalgorithms, ya que su comportamiento puede marcadamente diferentes en diferentes regiones del plano complejo). Voy a ser vaga por el resto de esta respuesta, ya que no se aclara su región de interés. Baste decir que se utiliza un continuo fracción de argumentos en la mitad izquierda del plano -, un de potencia de la serie para la pequeña y mediana argumentos, y expansiones asintóticas para grandes argumentos.

Si la aplicación que usted está comenzando a sonar intimidante (porque lo es), voy a tener este papel y la correspondiente subrutina FORTRAN.

Espero que esto ayude un poco.