Duda: Prueba de existencia de la suma de números naturales en Landau

Question

Con referencia a la Definición de la Suma de Landau de Fundamentos de Análisis,

el autor, en la comprobación de la existencia de un número natural $(x+y)$, da por sentado que el $x' + y = (x+y)'$ donde $x'$se define a continuación. Me parece que este es un uso de la propiedad Conmutativa de la ley que no ha sido probado todavía. Y en la prueba de la Conmutatividad hay una referencia a esta declaración en particular que no puedo ayudar, pero creo que es un argumento circular. Por favor me corrija si estoy equivocado. Esto es lo que he llegado a una forma de salir de ella. Pero se plantea un pequeño problema.

Requisito: Para demostrar que $(x+y) \in \bf{\mathbb{N}}; \quad \forall{x,y\in \bf{\mathbb{N}}} $

Si $ y = 1,$ $(x+1) = x' \in \mathbb{N} $ desde $x\in \mathbb{N}$ por el Axioma 2(ver más abajo). Si no, por el Teorema 3, $\exists {y_1} \in \mathbb{N}$ tal que $y = y_1'$ $(x+y)=(x+ y_1') = (x+y_1)'$

Si $y_1 = 1$ $(x+y) = (x+1)' = (x')' \in\mathbb{N} $ desde el sucesor del sucesor de $x$ debe ser un número natural desde $x$ es uno.

Continuando en esta moda para algunos $n$ tenemos que $y_n = 1$ $(x +y) = (((x +y_n)')'...)'= (((x')')'...)' \in \mathbb{N} $

Pero es $n$ finito o contable? Y entonces, ¿cómo de largo es el proceso? Tendrá que ser un problema? Es posible pensar que, tan pronto como $y$ está prescrito el proceso subsiguiente es finito. Por favor comente. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Conmutatividad todavía necesita ser probada; no es el caso que $x'+y=(x+y)'=x+y'$ como una cuestión de definición, y ciertamente no es el caso que $x+y=y+x$ simplemente como una cuestión de definición.

Pero usted puede mostrar a $x+y=y+x$ ser cierto para todos los $(x,y)$ por inducción en $x$$y$. Claramente es cierto para $x=y=1$. Ahora, supongamos que es cierto para $(x,1)$ algunos $x$. Entonces $$ 1+x'=(1+x)'=(x+1)'=x"=x'+1, $$ así que es verdad para $(x',1)$. Por inducción en $x$, ahora sabemos que es cierto para $(x,1)$ todos los $x$. Ahora, supongamos que es cierto para $(x,y)$ todos los $x$ y $y$. Entonces $$ 1+y'=(1+y)'=(y+1)'=y"=y'+1, $$ así que es verdad para $(1,y')$. Ahora, además, asumir que es cierto para $(x,y')$ algunos $x$ (y el mismo fija $y$). Entonces $$ x'+y'=(x'+y)'=(y+x')'=(y+x)"=(x+y)"=(x+y')'=(y'+x)'=y'+x'; $$ así que es verdad para $(x',y')$. Llegamos a la conclusión de que es verdad para $(x,y')$ todos los $x$ (por inducción sobre $x$), y por lo tanto es cierto para $(x,y)$ todos los $x$ $y$ (por inducción sobre $y$). $\square$

Una vez conmutatividad se ha demostrado, por supuesto, $$ x'+y=y+x'=(y+x)'=(x+y)'=x+y' $$ es trivial.

Answer 2

Este es un punto sutil, y su pregunta es sin duda uno justo, pero el argumento no es circular. El pasaje clave es la que los estados (es importante citar textualmente):

Deje $x$ pertenecen a $\mathfrak{M}$, por lo que existe una $x+y$ todos los $y$. A continuación, el número de $$x' + y = (x+y)'$$ is the required number for $x'$, ya [...]

La ecuación anterior es no una afirmación acerca de dos cantidades, por lo que no asumir nada acerca de conmutatividad. En este punto de la prueba, $x'+y$ aun no se ha definido aún, por lo que esta línea debe ser tomado como una definición de $x'+y$ cualquier $y$. El resto del párrafo justifica esta definición muestra que si definimos $x'+y$ de esta manera, entonces, de hecho, satisface los dos, además de los axiomas de ese $x'$ y arbitraria $y$.

En cuanto a tu argumento alternativo, el principal problema es que se apela a la poca definición de conceptos como "eventualmente" y "$\cdots$". Me temo que esto va en contra del objetivo del libro que intenta explicar precisa fundaciones usando la lógica de primer orden y un número mínimo de axiomas de la aritmética. Para alcanzar este objetivo, es importante expresar tales conceptos rigurosamente en términos de el axioma de inducción. El hecho de que no está claro si $n$ es finito, es una buena indicación de que no se han extraído de una definición rigurosa de $n$.

La prueba en el libro se escapa de esta trampa por no intentar definir $x+y$ mediante la aplicación repetida de la sucesora de la operación. Por el contrario, demuestra que $1+y$ puede ser definido, y a partir de ese $2+y$ puede ser definido, y por el proceso de inducción $x+y$ puede ser definida para todos los $x \in \mathbb N$. Esto no es estrictamente necesario, probablemente habría sido más evidente a mostrar para cada $x$ que el conjunto de $y$ que $x+y$ está definida de todos los de $\mathbb N$ (esto parece el resultado natural de la formalización del argumento que dio en la pregunta). Pero me imagino que hacerlo en el modo en que el libro hizo agiliza la prueba de la conmutatividad en el Teorema 6.