Como en Nate comentario, la forma más directa de hacer esto es probablemente a considerar la descomposición de estas representaciones en común subespacios propios para el subgrupo $T$ de la diagonal de las matrices. Por tanto, para cada homomorphism $\lambda: T \rightarrow \mathbb{C}^\times$ y cada representación $M$ $G=GL_n(\mathbb{C})$ vamos
$$M_\lambda=\{m \in M \ | \ tm=\lambda(t)m \ \hbox{for all $t \T$}\}.$$ The fundamental fact we shall use is that for a module $M$ que es igual a la suma directa de
$$M=\bigoplus_\lambda M_\lambda$$ of $T$-weight spaces, every submodule $N$ is also such a direct sum. In fact, if $m=\sum m_\lambda$ with $m_\lambda \en M_\lambda$ and $m \N$ then each $m_\lambda$ belongs to $$ N así.
Asumiendo este hecho, la estrategia para demostrar que un determinado $M$ es irreductible, es como sigue: supongamos $N$ es un no-cero submódulo. A continuación, contiene algunos $T$-vector propio. El uso de esta $T$-vector propio, tratamos de producir todos los otros $T$-vectores propios y obtener un $N=M$. Ahora vamos a realizar este procedimiento.
Deje $e_1,\dots,e_n$ ser el estándar de la base de $V=\mathbb{C}^n$, y deje $\lambda_1,\dots,\lambda_n:T \rightarrow \mathbb{C}^\times$ ser los personajes de $T$ correspondiente a las entradas de su diagonal, con
$$t e_i=\lambda_i(t) e_i.$$ The $G$-module $\wedge^k V$ is $T$-diagonalizable con
$$t(e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k})=\lambda_{i_1}(t) \cdots \lambda_{i_k}(t)e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k}. $$ This formula shows that the $T$-eigenspaces are all one dimensional, so that if $N$ is a non-zero submodule then it contains some decomposable wedge $e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k}$. Now given another decomposable wedge $e_{j_1} \wedge \cdots \wedge e_{j_k}$ we can choose a permutation matrix $g$ achieving $g(e_{i_l})=e_{j_l}$ for all $1 \leq l \leq k$. It follows that $N=M$.
La prueba para la misma potencia de $S^k(V)$ es similar pero un poco más complicado. Argumentando como arriba, con el hecho de que para el simétrico de los poderes de la $T$-subespacios propios son $1$-dimensional, un no-cero submódulo $N$ debe contener algunos monomio
$$e_1^{i_1} \cdots e_n^{i_n}.$$ Assuming $i_j \neq 0$ we apply a matrix $g$ with $g(e_j)=e_j+e_k$ for some $k$ and $g(e_i)=e_i$ for all $i \neq j$. Then expanding $g(e_1^{i_1} \cdots e_n^{i_n})$ as a sum of monomials, one of these is $$e_1^{i_1} \cdots e_j^{i_j-1} \cdots e_k^{i_k+1} \cdots e_n^{i_n}.$$ The fundamental fact with which I began this post shows that $$ N contiene todos los monomials.
(En la última etapa, el coeficiente de $e_1^{i_1} \cdots e_j^{i_j-1} \cdots e_k^{i_k+1} \cdots e_n^{i_n}$ en la expansión es un coeficiente binomial que puede ser divisble por $p$, por lo que en el carácter $p$ el argumento se rompe precisamente aquí. Parece que el exterior poderes y lo suficientemente pequeño simétrica poderes todavía son irreductibles, sin embargo.)
