¿Cómo calcular el volumen de$z = 0, z = 1, x+y+z=2, x = 0, y = 0$ área por triple integral?

Question

Estoy calculando el volumen del cuerpo que está definido por$z = 0, z = 1, x+y+z=2, x = 0, y = 0$ para hacer esto. Tengo dos formas posibles:

1. $$\int\limits_0^2\int\limits_0^{2-x}\int\limits_0^{2-x-y}1\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}dx-\int\limits_1^2\int\limits_1^{2-x}\int\limits_1^{2-x-y}1\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=\frac{2}{3}$$ where the first integral is volume without $z = 1$ and second integral is the part over $z = 1$.

2. Espero que$z = 0, x+y+z=2, x = 0, y = 0$ sea la mitad del cubo$2\times2\times2$. El volumen de ese cubo es$8$, por lo que el volumen de la mitad es$4$. La parte sobre$z=1$ es la mitad del cubo$1\times1\times1$. El volumen de este cubo es 1 y el volumen de la mitad es$\frac{1}{2}$. Así que el volumen que estoy tratando de encontrar es$4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$

Al menos uno de (1), (2) debe por error. ¿Cuál es el volumen correcto de área definida por$z = 0, z = 1, x+y+z=2, x = 0, y = 0$?

Answer 1

Es un poco difícil para mí si quiero contarles la prueba, pero hice un gráfico en el que puede leer los límites para$x,y,z$ y resolver la integral triple. De hecho, giré los ejes de coordenadas de modo que los ejes$y$ sean perpendiculares.

Y entonces solo necesitas evaluar la siguiente integral:$$\int_0^1\int_0^{2-z}\int_0^{2-x-z}dydxdz=7/6

Answer 2

Si observa una sección transversal del volumen en un plano$z=\text{constant}$, entonces la región es un triángulo rectángulo de área

PS

El volumen es entonces

PS

Answer 3

ambos están equivocados, si se resta la parte más z=1, usted todavía tiene que restar la parte que está por debajo de z=1! (para x e y entre el 1 y el 2). usted debe calcular el correcto integral que es: $\int\limits_0^1\mathrm{d}x\int\limits_0^{1-x}\mathrm{d}y\int\limits_0^1\mathrm{d}z+\int\limits_0^2\mathrm{d}x\int\limits_{1-x}^{2-x}\mathrm{d}y\int\limits_0^{2-x-y}\mathrm{d}z\ $ (la primera integral es la parte plana en z=1 (x e y entre 0 y 1, en realidad, entre el origen y=1-x), la segunda parte es la superficie plana que va hacia abajo desde z=1 z=0, para x e y entre el 1 y el 2, en realidad entre la de y=1-x y y=2-x)(vea el dibujo por BabakS). El resultado debe ser el mismo que Ron Gordon solución muy elegante. En cuanto al segundo método, el avión no cortar el cubo por la mitad (la forma de la parte superior "a la mitad" tiene cuatro triángulos como lados, en la parte inferior tiene 3 triángulos y un cuadrado.