Leyendo un poco sobre la ecuación de Laplace en algunas notas de clase, aparecieron las siguientes preguntas:
(1) ¿Cuál sería un problema de Cauchy para la ecuación de Laplace?
(2) ¿Qué significa ser un problema bien planteado?
¡Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un 'problema de Cauchy' es uno de los valores de la solución (o sus derivados, o de alguna combinación) que se especifican en una hipersuperficie (un conjunto de una dimensión menor que el dominio del problema). Así que si estás en la solución de problemas de Laplace de la eqn. en algunas abierto, comunicado conjunto de $\Omega$, entonces el problema de Cauchy podría ser especificando $u$$\partial \Omega$, y, a continuación, la solución de $\Delta u = 0$ $\Omega$ sujeto a esta restricción.
Por ejemplo, $$ \begin{cases} \Delta u = 0; \quad |x| < 1\\ u = f(x); \quad |x| = 1 \end{casos} $$
es un problema de Cauchy en la unidad de disco. (alternativamente, podríamos haber especificado el normal derivado de la u en $|x| = 1$, o de otro tipo de condiciones)
Un problema es "bien planteado" si
- Existe una solución
- La solución es única
- La solución depende continuamente de los datos (en este caso los valores de límite)
La última condición, sólo significa que, si cambia el límite de datos un poco, la solución sólo cambia un poco.
