¿$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^2}{(1+x^2)^n}$ Converge uniformemente?

Question

Quiero usar Leibniz prueba para comprobar de manera uniforme convergencia $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^2}{(1+x^2)^n}$. Con el fin de hacer que me tiene que comprobar si la serie $\frac{(-1)^{n-1}x^2}{(1+x^2)^n}$ converge uniformemente a 0. Es fácil comprobar que se trata de pintwiseconverges a 0, me gustaría su ayuda para decidir si la convergencia es uniforme. Pensé en la comprobación de la $\lim_{n \to \infty} |f_n(x)-f(x)|$, he intentado derivar $r_n(x)=f_n(x)-f(x)$, tengo que $x_1=o, x_2=\frac{1}{n-1}$, ambos donar que el lim $r_n(x)$ 0$n \to \infty$, ¿se Puede usar a la conclusión de que la función no converge uniformemente?

el radio de $x$ es toda la recta real.

Muchas gracias!

Answer 1

El$N$ th resto de la serie es $ R_N (x) = \ displaystyle \ sum_ {n = N +1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n-1} x ^ 2 } {(1 + x ^ 2) ^ n}, $ por lo tanto $$ R_N (x) = \ frac {(- 1) ^ Nx ^ 2} {(1 + x ^ 2) ^ {N +1}} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {n}} {(1 + x ^ 2) ^ n} = \ frac {(- 1) ^ Nx ^ 2} {(1 + x ^ 2) ^ {N} (2 + x ^ 2)}, $$ y$\left|R_N(x)\right|\leqslant U_N\left(\frac{x^2}{1+x^2}\right)$ con$U_N(t)=t(1-t)^N$ por cada$t$ en$[0,1]$. La función$U_N$ alcanza su máximo en$t_N=\frac1{N+1}$ por lo tanto $$ \ | R_N \ | _ {\ infty} \ leqslant U_N (t_N) = \ frac {N ^ N} {(N +1) ^ {N +1}}. $$ Usando el límite superior$\left(\frac{N}{N+1}\right)^{N+1}\leqslant\frac1{\mathrm e}$, finalmente se obtiene$\|R_N\|_{\infty}\leqslant\frac1{\mathrm eN}\to0$.