¿Se puede probar esto puramente en base a UMP?

Question

Deje $A,B$ ser abelian grupos y deje $P$ servir como un producto con las proyecciones de $p_{A}:P\rightarrow A$$p_{B}:P\rightarrow B$.

Deje $C$ ser un grupo abelian y deje $f:C\rightarrow A$ $g:C\rightarrow B$ ser grouphomomorphisms.

Entonces no hay una única grouphomomorphism $h:C\rightarrow P$ con $f=p_{A}\circ h$$g=p_{B}\circ h$.

Ahora vamos a ser que $c\in C$ con $f\left(c\right)=0_{A}$$g\left(c\right)=0_{B}$. Puedo la conclusión de que $h\left(c\right)=0_{C}$?

Sé que el la respuesta es 'sí', pero para demostrarlo me veo obligado a mirar a la producto específico $A\times B$ tener pares ordenados $\left(a,b\right)$ como los elementos y los mapas de $\left(a,b\right)\mapsto a$ $\left(a,b\right)\mapsto b$ como en las proyecciones. Trabajar con este producto es obvio que $c$ es enviado a $\left(0_{A},0_{B}\right)$ $S$ $A\times B$ isomorfo como de los productos. Mi pregunta es:

Hay una manera de probar esto, sin mirar un producto construido, pero simplemente sobre la base de la universalización de la asignación de la propiedad de los productos?

Answer 1

$c$ corresponde a un homomorfismo$\mathbb{Z} \to C$ tal que$\mathbb{Z} \to C \to A$ y$\mathbb{Z} \to C \to B$ son cero. Por lo tanto, basta con probar (y esto se cumple en cualquier categoría con cero morfismos):

Si$f : D \to A$ y$g : D \to B$ son cero, entonces lo mismo es cierto para$(f,g) : D \to A \times B$. La razón es simplemente que el homomorfismo cero satisface la definición de este morfismo, es decir, que recuperamos$f$ y$g$ cuando componemos con las proyecciones.