Prob. 11 (d) en el Bebé Rudin: Dado $a_n > 0$, es esta condición también suficiente para la divergencia de $\sum \frac{a_n}{1+na_n}$?

Question

Aquí Prob. 11 (d), Cap. 3 en el libro de los Principios de Análisis Matemático por Walter Rudin, 3ª edición:

Supongamos $a_n > 0$ y que la serie $\sum a_n$ es divergente. Entonces, ¿qué puede decirse acerca de la convergencia de $$\sum \frac{a_n}{1+na_n}?$$

Sé que si $\left\{ n a_n \right\}$ está delimitado por encima o tiene un resultado positivo en su límite inferior, entonces esta serie diverge. ¿El conversar mantenga así?

Supongamos que $\left\{ n a_n \right\}$ no es ni delimitada por encima ni tiene un resultado positivo de límite inferior. Luego hay una larga $\left\{ n_k a_{n_k} \right\}$ tal que $$n_k a_{n_k} \geq k$$ for all $k$.

Y, hay una larga $\left\{ m_r a_{m_r} \right\}$ tal que $$m_r a_{m_r} < \frac{1}{r}$$ for all $r$.

¿Qué es lo siguiente?

Answer 1

• Respondiendo a la Bebé Rudin pregunta:

Usted no puede decir nada.

Puede ser divergentes: por ejemplo, $(a_n)_{n\geq 1}$ a ser idéntica $1$, o incluso el $(a_n)_{n\geq 1}$ a ser definido por $a_n = \frac{1}{n}$ (dos ejemplos naturales).

Puede ser convergente: por ejemplo, $a_n = \begin{cases} 1 &\text{ if } n=2^k \text{ for some }k\geq 0\\ 0 &\text{ otherwise}\end{cases}$ (se puede reemplazar $0$ $2^{-n}$ si desea exigir que la secuencia sea positiva). Desde $(a_n)_n$ no converge a $0$, claramente la serie de $\sum_n a_n$ diverge. Sin embargo, $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+n a_n} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{1+2^k} < \infty$.

• Respondiendo al OP seguimiento pregunta:

Tome $(a_n)_{n\geq 1}$ definido por $$ a_n = \begin{cases} 2^n & \text{ for even } n\\ \frac{1}{2^n} & \text{ otherwise.} \end{casos} $$ A continuación, $\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverge claramente, y así lo hace $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{1+n a_n} \geq \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{2n}}{1+2n a_{2n}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\frac{1}{2^{2n}}+2n}$. Pero $(a_n)_{n\geq 1}$ no tiene un límite superior finito ni un positivo límite inferior.