Considerar el grupo $SL_3$. Deje $U$ ser el subgrupo de $SL_3$ que consta de todos los triangular superior unipotentes matrices. A continuación, el álgebra $\mathbb{C}[SL_3/U]$ es generado por $a_{11}, a_{21}, a_{31}, a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}, a_{11}a_{32}-a_{12}a_{31}, a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}$. Hay dos representaciones fundamentales de $SL_3/U$: $V_{\omega_1}$ y $V_{\omega_2}$. ¿Tenemos el siguiente resultado: es más alto peso vector de $V_{\omega_1}$ $a_{11}$ y es más alto el peso de vector de $V_{\omega_2}$$a_{11} a_{22}-a_{12}a_{21}$? Hay algunas referencias acerca de la teoría de la representación de $SL_n$$SL_n/U$? Muchas gracias.
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Dado un complejo semisimple grupo $G$ con Borel $B=TU$ donde $T$ es la máxima toro y $U$ es el unipotentes radical de $B$, la representación $\mathbf{C}[G/U]$ es una multiplicidad libre de suma directa sobre la irreductible finito representaciones tridimensionales de $G$. Esto es una consecuencia de las siguientes expresiones algebraicas versión de Peter-Weyl teorema:
$$\mathbf{C}[G] \cong \bigoplus V \otimes V^*,$$ in which the isomorphism is of $G$-bimodules and the sum runs over all finite dimensional irreducible $G$-modules $V$; in turn the algebraic Peter-Weyl theorem is a consequence of the fact that each $G$-module is semisimple and that $G$ acts locally finitely on $\mathbf{C}[G]$. Each $V^*$ is a highest weight (right) module, which means its space of $U$-invariants is one dimensional, implying the claim that $\mathbf{C}[G/U]$ is a multiplicity-free sum of all the finite dimensional irreducible $G$-modules.
Para el caso particular en su pregunta, se necesita una definición precisa de las funciones de $a_{ij}$; creo que tus afirmaciones son correctas con una cierta convención para la indexación.
Para obtener más información, usted debe buscar en la internet usando la palabra clave básica afín espacio para referirse a $G/U$.
LJR
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Deje $V_{\lambda} = \langle e_T : T \text{ is a semistandard Young tableau of shape $\lambda$} \rangle$, $\lambda$ es un Joven diagrama, $e_T = \prod e_c$, $c$ rangos de las columnas de a $T$, para $c = (c_1, \ldots, c_l)^T$, $e_c$ es el menor de $x=(x_{ij})$ consta de la primera $l$ columnas y filas $c_1, \ldots, c_l$. A continuación, $V_{\lambda}$ es una representación irreducible de $SL_n$.
Deje $\lambda = (1,1,0)$ $T$ un semistandard Jóvenes tableau de la forma $\lambda$. A continuación, $ T = \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}$ y $e_T$ es el principio de menores de $(x_{ij})$ compuesto de las dos primeras filas y las dos primeras columnas. Por lo tanto representaciones fundamentales son generados por el principio de menores de edad.
