Martingala y limita el tiempo de parada

Question

Un teorema de submartingale y limita el tiempo de parada dice:

Teorema 5.4.1. Si $X_n$ es un submartingale y $N$ es un tiempo de paro con $\mathbb P (N \le k) = 1$ then $\mathbb EX_0 ≤ \mathbb EX_N ≤ \mathbb EX_k$.

Un ejercicio de este teorema es

Ejemplo 5.4.1. El paseo aleatorio. Si dejamos $S_n = \xi_1 + · · · + \xi_n$ cuando la $ξ_m$ son independientes y tienen $\mathbb E \xi_m = 0$, $\sigma_m^2 = \mathbb E \xi_m^2 < \infty$. Supongamos que tenemos que $|\xi_m | \le K$ y deje $s^2_n = \sum_{m \le n} \sigma^2_m$. Tenga en cuenta que $S_n^2 − s^2_n$ es una martingala. Utilice este hecho y el Teorema 5.4.1 a la conclusión de $$\mathbb P \left(\max_{1 \le m \le n} |S_m| ≤ x \right) ≤ (x + K)^2/ \mathbb E(S_n^2)$$

Deje $A = \{\max_{1 \le m \le n} |S_m| ≤ x\}$. Deje $X_n = S^2_n - s^2_n$. Deje $N = \inf\{m:|S_m| \ge x~\text{or}~n+1\}$. Por lo $N$ es un almacén de tiempo de parada. Por lo tanto, por el teorema anterior tenemos $$ 0 = \mathbb E{X_1} = \mathbb E{X_N} = \mathbb E{X_{n+1}}. $$ Desde $X_{n+1} = X_N$$A^c$,$\mathbb E (X_{n+1} 1_A) = \mathbb E (X_N 1_A)$. Por lo tanto, mientras tengamos $\mathbb E (X_N 1_A) \ge 0$, (que no sé cómo probar), tenemos $\mathbb E (X_{n+1} 1_A) \ge 0$. De ello se sigue que $$ \mathbb E(s_n^2 1_A) \le \mathbb E(s_{n+1}^2 1_A) \le \mathbb E(S_{n+1}^2 1_A) \le (x + K)^2. $$ Pero tengo un problema para mostrar que $\mathbb E(X_N 1_A) \ge 0$. Estoy en la dirección correcta?

Answer 1

Puesto que usted es curioso en cuanto a si o no usted va en la dirección correcta, me permite abordar su enfoque primero antes de dar mi solución (que sigue un enfoque diferente).

De hecho, me gustaba lo que estaba tratando de hacer y el intento de rescate por un tiempo. Entonces, me di cuenta de que podría ser un poco demasiado débil. No tengo un contraejemplo a la mano, pero voy a compartir mi intuición. Está tratando de demostrar $\mathbb{E}\left\{ (S_{n+1}^2 - s_{n+1}^2) \mathbb{1}_A \right\} \geq 0$, o intuitivamente que condicional en las sumas parciales de $S_n$ ser pequeño (es decir, eventos $A$ ocurren), sus di cuenta de la varianza $S_{n+1}^2$ está en la expectativa de al menos tan grande como el esperado (incondicional) de la varianza $s_{n+1}^2$. Simplemente no puedo imaginar por qué las pequeñas sumas parciales le daría gran varianza. La situación generalmente es al revés: tener grandes sumas parciales permite decir que la varianza es grande (de Chebyshev, Kolmogorov, Doob desigualdades de todo el trabajo en este contexto). Creo que no hay suficientes datos en el problema de probar una de conversar desigualdad.

En la solución.

En primer lugar, consideremos un poco más natural tiempo de parada de las $\tau := n \wedge \inf \{ m \geq 1 : |S_m| > x \}$. Esto es diferente de su $N$ en un par de maneras que hacen que sea más fácil de usar. Además, es claramente un almacén de tiempo de paro y tal que $S_\tau^2 \leq (x+K)^2$.

En vista de $S_n^2 - s_n^2$ ser una martingala y $\tau$ un almacén de tiempo de parada, la función opcional de frenado teorema (o la variante que ustedes se refieren como Teorema 5.4.1) da $\mathbb{E} S_\tau^2 = \mathbb{E} s_\tau^2$. En vista de $S_\tau^2 \leq (x+K)^2$, llegamos a la conclusión de que

$$ (x+K)^2 \geq \mathbb{E} S_\tau^2 = \mathbb{E} s_\tau^2 = \mathbb{E} \left\{ \mathbb{1}_A s_\tau^2 \right\} + \mathbb{E} \left\{ \mathbb{1}_{A^c} s_\tau^2 \right\} \geq \mathbb{E} \left\{ \mathbb{1}_A s_\tau^2 \right\}$$

donde $A = \cap_{1 \leq m \leq n} \{ |S_m| \leq x \}$, como con su enfoque. Observe que cuando se $A$ se produce hemos $\tau = n$ y, por tanto,$s_\tau^2 = s_n^2$, siendo este último una constante, por lo que

$$ (x+K)^2 \geq \mathbb{E} \left\{ \mathbb{1}_A s_\tau^2 \right\} = \mathbb{E} \left\{ \mathbb{1}_A s_n^2 \right\} = \mathbb{E} \mathbb{1}_A \cdot s_n^2 = \mathbb{P}(A) \mathbb{E} S_n^2 $$

que es el resultado requerido.