El espacio de comunicación del operador

Question

Suponga $V$ es un espacio vectorial sobre $\Bbb{F}$,y $\dim V = n$. $\sigma$ y $\tau$ son lineales transforma. y existe un vector $\xi$, de tal manera que $V = <\xi, \sigma(\xi),\cdots,\sigma^{n-1}(\xi)>$ Si $\sigma\tau =\tau\sigma$, muestran que existe un polinomio $f(x)$, de tal manera que $f(\sigma)=\tau$.

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Creo que si $\{\tau | \sigma\tau = \tau\sigma\}$ es distribuido por $\Bbb{I}, \sigma,\cdots,\sigma^{n-1}$, el problema va a funcionar. Pero no puedo trabajar con este problema a través de este camino.

Answer 1

Desde la dimensión de la $V$ es exactamente $n$, usted tiene que $\xi, \sigma( \xi), \dots, \sigma^{n-1}(\xi)$ es una base de $V$ (se trata de un conjunto de $n$ elementos que abarca $V$). Ahora escribir $$\tau (\xi) = \sum_{i=0}^{n-1} \lambda_{i} \sigma^i(\xi)$$ para algunos $\lambda_0, \dots, \lambda_{n-1} \in \mathbb{F}$.

Ahora, para todos los $v = a_0 \xi + a_1 \sigma(\xi)+ \dots + a_{n-1} \sigma^{n-1}(\xi) \in V$ ( $a_j \in \mathbb{F}$ ) tiene

$$\tau (v) = \tau \left( \sum_j a_j \sigma^j(\xi) \right) = \sum_j a_j \tau\sigma^j(\xi) = \sum_j a_j \sigma^j \tau (\xi) = \sum_ja_j \sigma^j \left( \sum_i \lambda_{i} \sigma^i(\xi) \right) =$$

$$ = \sum_i \lambda_i \sigma^i \left( \sum_j a_j \sigma^j (\xi) \right) = \sum_i \lambda_{i} \sigma^i(v)$$

Por lo tanto $\tau = \sum_i \lambda_i \sigma^i$