De alguna manera, como una de dos dimensiones intermedias teorema del valor de la integral doble.

Question

Deje $f \in L^1(\mathbb{R}^2)$ con respecto a la medida de Lebesgue $m \times m$$\mathbb{R}^2$. Probar que si $$\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dx\,dy=0,$$then there exits a square $S_{a,b}=\{(x,y)\mediados de los a \leq x \leq+1, b \leq y \leq b+1\}$, such that $$\iint _{S_{a,b}}f(x,y)\,dx\,dy=0.$$

He intentado mostrar que la integral de la $$\iint_{[a,a+x]\times [b,b+y]}f(s,t)\,ds\,dt$$ es absolutamente continua, por el Teorema de Fubini y el Teorema Fundamental. Y por el contable de la suma de integración, he probado la integral sobre todo el avión está aún A. C. sin Embargo, yo no podía aplicar directamente el teorema como el IVT para las funciones de una sola variable.

Es allí cualquier teorema para el caso bidimensional?

Answer 1

Vamos $g(a,b)=\iint_{S_{ab}} f(s,t) \, ds \, dt$. $g$ es una continua real de los valores de la función en $\mathbb R^{2}$. Si nunca es cero es siempre positiva o siempre negativa. [ Debido a que su rango está conectado en $\mathbb R$]. Si siempre es positiva, entonces la $\iint_{\mathbb R^{2}} f(s,t) \, ds \, dt >0$ debido a que esta integral es la suma de integrlas $S_{nm}$ $n,m$ variar a lo largo de todos los números enteros.