Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser continua función periódica con período de $T>0$

Question

Deje $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser un continuo función periódica con período de $T>0$. Mostrar que existe un elemento $x \in \mathbb{R}$ que $f(x)=f(x+T/2)$.

Esto es lo que se me ocurrió para demostrar la declaración:

• Para$f(x)=b$, $b$ una constante, la prueba es trivial (porque en tal caso es $f(x)=f(x+T/2)$ todos los $x \in \mathbb{R}$)

• Para demostrar la proposición para todos los otros $f(x)$, he encontrado que las siguientes declaraciones de retención:

  1. $f(0)=f(T)$ (o, en realidad, $f(k)=f(k+T)$ todos los $k \in \mathbb{R}$)
  2. Existe al menos un valor de $f(y)$, $y \in [0,T]$ que $f(y)\neq f(0)$ $f(y) \neq f(T)$
  3. Todos los valores de $f$ $x=0$ $x=T$ aparecen al menos dos veces, excepto para el máximo y el mínimo, que sólo aparecen una vez (y que debe existir).

Supongo que tengo que hacer uso del teorema del valor intermedio para demostrar el resultado, pero soy incapaz de averiguar cómo. Alguna ayuda?

Answer 1

El enfoque más simple es: Considerar la posibilidad de $g(x) = f(T/2+x) - f(x).$ Ahora si $g(0)$ es positivo, $g(T/2)$ tiene que ser negativo (desde $g(x) + g(x+T/2) = f(T+x) - f(x) =0.$) El resultado se sigue por el teorema del valor intermedio (como has adivinado).