Demostrar que el cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario es un paralelogramo

Question

Demuestra que el cuadrilátero PQRS, cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario ABCD, es un paralelogramo. Este es un ejercicio en un libro de álgebra lineal, por lo que me gustaría resolverlo usando vectores.

Intenté expresar los lados del paralelogramo en términos de las mitades de $ABCD$, por ejemplo, $PQ = PB + BQ$, pero probablemente no es suficiente información porque las ecuaciones resultantes no conducían a ninguna parte útil. (La figura relevante se puede ver aquí).

Answer 1

El punto medio de $AB$ es $\frac12(A+B)$.

El punto medio de $BC$ es $\frac12(B+C)$.

El vector desde el punto medio de $AB$ hasta el punto medio de $BC$ es $\frac12(B+C)-\frac12(A+B) = \frac12(C-A)$.

Repite para $AD$ y $DC$ para ver que obtienes el mismo vector allí.