Entero de soluciones de $x^3-x+9=5y^2$

Question

¿Cuáles son las soluciones en enteros de $x^3-x+9=5y^2$?

[Fuente: húngaro competencia problema]

Answer 1

Si $x$ fueron impar, entonces tendríamos $x^3 \equiv x \pmod {8}$. Pero $5y^2 \equiv 1\pmod{8}$ no tiene soluciones, por lo $x$ es incluso.

Tenemos $(x-1)x(x+1) = 5y^2 - 9 \equiv 1\pmod{5}$. Tenemos $2\cdot 3\cdot 4 \equiv -1\pmod{5}$, por lo que debemos tener $x\equiv 2\pmod{5}$.

Por último, se observa que el $x^3-x$ es divisible por $3$, lo $y$ es divisible por $3$, lo $x^3-x$ es divisible por $9$. Sin embargo, $5y^2 \equiv 9 \pmod{27}$ no tiene soluciones, por lo $x^3-x$ es divisible por $9$, pero no $27$. Esto implica que los $x+1$ no es divisible por $3$, o es divisible por $9$, pero no $27$.

En el primer caso, tenemos $x+1 \equiv 3\pmod{5}$. En el segundo, $\frac{x+1}{9} \equiv 2\pmod{5}$. Desde $x+1$ es impar, en ambos casos hay un factor de $x+1$$\{2,3\}\pmod{5}$, pero no es divisible por $2$ o $3$. Que implica que existe un primer factor de $p\neq 2,3$ $x+1$ tal que $p\in \{2,3\}\pmod{5}$.

Por lo $p$ no es un cuadrado$\pmod{5}$. Por la reciprocidad cuadrática, $5$ no es un cuadrado$\pmod{p}$. Pero tenemos $5y^2 - 9 \equiv 0 \pmod{p}$, lo $5\equiv (3/y)^2\pmod{p}$, contradicción.

Llegamos a la conclusión de que no hay soluciones.

Answer 2

Este es el mejor que he podido hacer hasta ahora:

$$x^3-x+9=5y^2$$

Deje $$x=247$$

Entonces

$$247^3-273+9=5y^2\implies y^2=3013797$$

Que da $$y=1736.02909\approx 1736$$

Este es el más cercano que he conseguido hasta ahora a un entero y.

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El problema es aún tan pequeñas decimales dar a la gran diferencia (en este caso sólo 5). Im compartir esto porque es poderoso ayudar tal vez también la solución no es fácil (no hay solución perfecta demasiado). Pero después de 1 horas de trabajo, este es el más cercano que he visto.

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También, si no te diste cuenta

$$y^2=\frac{x^3-x+9}{5}$$

$y^2$ es un integar

al $x$ es 7,17,27,37,.........,1127,.........,18887,etc

(es decir, cuando el valor de x tiene un 7 como el último dígito)

Así que esto le permitirá reducir su Búsqueda.